COGS 2259 异化多肽 —— 生成函数+多项式求逆

题目：http://cogs.pro:8080/cogs/problem/problem.php?pid=2259

如果构造生成函数是许多个 \( (1+x^{k}+x^{2k}+...) \) 相乘，不好算排列数；

发现排列数和肽链的长度，使用的种类数有关；

所以构造 \( A(x) \)，次数是质量，系数是这个质量的氨基酸有多少种；

发现答案就是 \( B(x) = 1 + A(x) + A(x)^{2} + ... \)，其中 \( A(x) \) 的次数就是长度；

所以 \( B(x) = \frac{1}{1-A(x)} ( mod x^{n+1} ) \)，多项式求逆即可。

代码如下：

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;

int const xn=(<<),mod=;

int n,m,f[xn],g[xn],c[xn],rev[xn];

int rd()

{

  int ret=,f=; char ch=getchar();

  while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=; ch=getchar();}

  while(ch>=''&&ch<='')ret=ret*+ch-'',ch=getchar();

  return f?ret:-ret;

}

ll pw(ll a,int b)

{

  ll ret=;

  for(;b;b>>=,a=(a*a)%mod)if(b&)ret=(ret*a)%mod;

  return ret;

}

int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod; while(x<)x+=mod; return x;}

void ntt(int *a,int tp,int lim)

{

  for(int i=;i<lim;i++)

    if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);

  for(int mid=;mid<lim;mid<<=)

    {

      int len=(mid<<),wn=pw(,tp==?(mod-)/len:(mod-)-(mod-)/len);

      for(int j=;j<lim;j+=len)

    for(int k=,w=;k<mid;k++,w=(ll)w*wn%mod)

      {

        int x=a[j+k],y=(ll)w*a[j+mid+k]%mod;

        a[j+k]=upt(x+y); a[j+mid+k]=upt(x-y);

      }

    }

  if(tp==)return; int inv=pw(lim,mod-);

  for(int i=;i<lim;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;

}

void inv(int *a,int *b,int n)

{

  if(n==){b[]=pw(a[],mod-); return;}

  inv(a,b,(n+)>>);

  int lim=,l=;

  while(lim<n+n)lim<<=,l++;

  for(int i=;i<lim;i++)rev[i]=((rev[i>>]>>)|((i&)<<(l-)));

  for(int i=;i<n;i++)c[i]=a[i];

  for(int i=n;i<lim;i++)c[i]=;

  ntt(c,,lim); ntt(b,,lim);

  for(int i=;i<lim;i++)b[i]=upt((-(ll)c[i]*b[i])%mod*b[i]%mod);//c !a

  ntt(b,-,lim);

  for(int i=n;i<lim;i++)b[i]=;

}

int main()

{

  //freopen("polypeptide.in","r",stdin);

  //freopen("polypeptide.out","w",stdout);

  n=rd(); m=rd(); int mx=;

  for(int i=,x;i<=m;i++)x=rd(),f[x]++,mx=max(mx,x);

  f[]=;

  for(int i=;i<=mx;i++)f[i]=upt(-f[i]);

  inv(f,g,n+);

  printf("%d\n",g[n]);

  return ;

}