Codeforces Round 363 Div. 1
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A. Vacations (1s, 256MB)
题目大意：给定连续 \(n\) 天，每天为如下四种状态之一：
- 不能进行运动或比赛
- 可以进行运动但不能比赛
- 可以进行比赛但不能运动
- 可以进行比赛或运动
对于每天，可以根据当天的状态选择运动，比赛或休息。但不能连续两天的选择均为运动或均为比赛。求在这 \(n\) 天中最少需要休息多少天。
数据范围：\(n \leq 100\)
简要题解：令 \(f_{i,0},f_{i,1},f_{i,2}\) 分别表示考虑了前 \(i\) 天，且最后一天为运动，比赛和休息时最少需要休息的天数。显然可以从状态 \(f_{i-1,0},f_{i-1,1},f_{i-1,2}\) 转移过来。
时空复杂度：\(O(n) + O(n)\)
关键字：动态规划，dp
B. Fix a Tree (2s, 256MB)
题目大意：对于一个可以表示有根树的数列 \(\{p_n\}\)，其有：
- 数列中有且仅有一项 \(r\) 满足 \(p_r=r\)，即为根
- 其他的 \(n-1\) 项表示结点 \(i\) 和结点 \(p_i\) 间有一条边
现给定数列 \(\{a_n\}\)，求至少要改变其中的多少项，才能使 \(\{a_n\}\) 能表示一棵有根树。
数据范围：\(2 \leq n \leq 2 \times 10^5\)，\(1 \leq a_i \leq n\)
简要题解：不妨先在所有的 \(i\) 和 \(a_i\) 间连一条边，那么生成的图为一些边和一些环（包括自环）。如果存在 \(r\) 使得 \(a_r=r\)，则令 \(r\) 为根即可，否则可以任意选择一个结点作为根。而当根 \(r\) 确定后，只要将环中的任意一个结点所连出的边改为连向根 \(r\) 即可。具体实现可以借助并查集。
时空复杂度：\(O(n \alpha (n)) + O(n)\)
关键字：并查集，图论
C. LRU (2s, 256MB)
题目大意：有 \(n\) 个视频和一个可以存放 \(k\) 个视频的缓存区。在每次操作中，第 \(i\) 个视频将有 \(p_i\) 的概率会被选中，若被选中的视频不在缓存区中，则将其加入缓存区。如果缓存区已满，则将最早加入的视频移出，将被选中视频加入。求经过 \(10^{100}\) 次操作后各个物品在缓存区中的概率。
数据范围：\(1 \leq k \leq n \leq 20\)
解法一：注意到最后一次加入的视频必定在缓存区中，而第一次加入的视频几乎对结果没有任何影响，所以我们可以倒过来考虑这些操作。令 \(g_{ij}\) 为第 \(i\) 个视频被倒数第 \(j\) 个加入的概率，则第 \(i\) 个视频最终在缓冲区中的概率 \(ans_i=\sum_{j=1}^k g_{ij}\)。可以考虑用状态压缩动态规划来解决这个问题。令 \(a_i\) 表示 \(i\) 的二进制表示中 \(1\) 的个数，令 \(f_i\) 表示倒数加入 \(a_i\) 个视频后缓存区中视频存在状态为 \(i\) （\(i\) 中的 \(1\) 表示在缓存区中）的概率，令 \(s_i=\sum_{j=0}^{n-1} [i~\verb>&>~2^j= 0] \times p_j\)，即当前未在缓存区中的视频的被选中概率之和，那么转移方程为
\[f_{i+2^j}=f_{i+2^j}+f_i \times \frac{p_j}{s_i}~~(i~\verb>&>~2^j= 0)\]
转移的同时将答案 \(ans_j\) 更新即可。
时空复杂度：\(O(n2^n) + O(2^n)\)
解法二：可以依次计算第 \(i\) 个视频最终在缓存区中的概率。考虑视频 \(i\)，设当其最后一次被选中后，又进行了 \(x\) 次选择操作。若最终视频 \(i\) 在缓冲区中，那么这 \(x\) 次操作最多涉及到 \(k-1\) 种不同的视频。考虑任意一个含有 \(k-1\) 种视频的集合 \(S\)（不能包括视频 \(i\)），令集合 \(S\) 中所有视频的被选中概率之和为 \(P_S\)，则上面这些情况发生的概率为 \(p_i+p_i \times P_S+p_i \times P_S^2+\cdots+p_i \times P_S^x\)，当 \(x \rightarrow \infty\) 时，其等于 \(\frac{p_i}{1-P_S}\)。若枚举所有的 \(S\)，将概率累加，会发现含有 \(k-2,k-3,\cdots\) 种不同视频的情况会被重复计算多次。于是再枚举含有 \(k-2\) 种视频的集合 \(S'\)，考虑到其概率在枚举所有的 \(S(S' \subseteq S)\) 时均被计算了一次，故将其减去 \(C_{(n-1)-(k-2)}^{(k-1 )-(k-2)}\) 次即可。接下来再枚举含有 \(k-3\) 种视频的集合 \(S''\)，依次类推。注意到这是一个容斥的过程，可以预处理出容斥的系数，计算时直接调用即可。
时空复杂度：\(O(n2^n) + O(2^n)\)
关键字：概率论，动态规划，容斥原理
D. Limak and Shooting Points (3s, 256MB)
题目大意：有 \(k\) 块传送石位于 \((ax_i,ay_i)\) 和 \(n\) 个怪物位于 \((mx_i,my_i)\)，保证这 \(k+n\) 个位置互不相同。可以在传送石位置向任意方向射箭，箭会攻击到该方向上的第一个怪物，同时怪物和箭均会消失。现在可以以任意顺序利用这 \(k\) 块传送石向任意方向射箭，但在每块传送石处只能射出一箭，求有多少怪物可能被射到。
数据范围：\(1 \leq k \leq 7\)，\(1 \leq n \leq 1000\)，\(-10^9 \leq ax_i,ay_i,mx_i,my_i \leq 10^9\)
简要题解：枚举所有利用传送石顺序的排列 \(P\)，检验是否能以该顺序使用传送石来射中怪物 \(i\)。具体用递归来进行判断。令状态 \((j,s)\) 表示正在使用第 \(P_j\) 个传送石，当前要射击的怪物集合为 \(s\)，初始时 \(s=\{i\}\)。每次认为将要在 \(P_j\) 处射到 \(s\) 中的第一个怪物 \(s_1\)，但可能在该方向上存在其余怪物 \(t_1,t_2,\cdots,t_m\) 遮挡住 \(P_j\) 射向 \(s_1\) 的箭，故接下来这些怪物将要被射掉。于是转移到状态 \((j+1,s')\) 继续进行上述过程，其中 \(s'=s-\{s_1\}+\{t_1,t_2,\cdots,t_m\}\)，当 \(s'\) 为空时，说明怪物 \(i\) 可以被射到。
时空复杂度：\(O(k! \cdot nlogn) + O(kn)\)
关键字：极角排序，模拟，搜索
E. Cron (3s, 256MB)
题目大意：给定 \(s,m,h,day,date,month\) 参数用以描述一个工作时刻，其中 \(s\) 为秒，\(m\) 为分钟，\(h\) 为小时，\(day\) 为星期几，\(date\) 为日，\(month\) 为月。当其中有 \(-1\) 时表示该参数可以为任意值，当 \(day\) 和 \(date\) 同时不为 \(-1\) 时认为两者任一可以为任意值。假定当前时刻为 00:00:00 January 1st, 1970 (Thursday)。现有 \(n\) 个询问 \(t_i\)，对于每个询问，求 \(t_i\) 秒后第一个工作时刻距当前时刻多少秒。
数据范围：\(0 \leq s,m \leq 59\)，\(0 \leq h \leq 23\)，\(1 \leq day \leq 7\)，\(1 \leq date \leq 31\)，\(1 \leq month \leq 12\)，\(n \leq 1000\)，\(0 \leq t_i \leq 10^{12}\)
简要题解：注意到参数 \(s,m,h\) 以每天为一个周期，参数 \(day,date,month\) 以每 \(400\) 年为一个周期。考虑将这两种周期中符合条件的时刻按顺序记录下来，对于每个询问直接在这些时刻中二分即可。
时空复杂度：\(O(2.5 \times 10^5+nlog(1.5 \times 10^5)) + O(2.5 \times 10^5)\)
关键字：模拟
F. Coprime Permutation (2s, 256MB)
题目大意：构造一个排列 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\) 满足：
\[\forall_{1 \leq i < j \leq n} (i,j)=1 \iff (p_i,p_j)=1\]
现已知 \(p\) 中一些位置的值，求有多少种构造方案。
数据范围：\(2 \leq n \leq 10^6\)
简要题解：先不考虑有些位置值已经确定的情况。定义 \(f(a)=\{a,2a,\cdots,ma\}\)，其中 \((m+1)a>n\)。注意到排列 \(1,2,\cdots,n\) 即为一个满足条件的排列，且其余满足条件的排列必可由该排列通过以下变换得到：
- 变换一：若数 \(i\) 和 \(j\) 含有相同的质因子，则 \(i,j\) 可以互换位置
- 变换二：若存在质数 \(a,b\) 满足 \(\biggl\lfloor\dfrac{n}{a}\biggr\rfloor=\biggl\lfloor\dfrac{n}{b}\biggr\rfloor\)，即存在 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 一一对应，则可以将对应的数互换位置
可以发现，\(1,2,\cdots,n\) 经过以上两种变换成为新的排列 \(p\) 后，\(p\) 应具有以下性质：
- \(i\) 和 \(p_i\) 的质因子数相等
- 注意到变换二中的 \(a,b\) 必然大于 \(\sqrt{n}\)，从而 \(i\) 和 \(p_i\) 小于 \(\sqrt{n}\) 的质因子对应相等，且大于 \(\sqrt{n}\) 的质因子满足变换二中的条件
- 对于质数 \(a,b,c\) 满足 \(\biggl\lfloor\dfrac{n}{a}\biggr\rfloor=\biggl\lfloor\dfrac{n}{b}\biggr\rfloor=\biggl\lfloor\dfrac{n}{c}\biggr\rfloor\)，则 \(f(a)\) 中的数不能同时出现在 \(f(b),f(c)\) 中数的位置上，且在 \(f(a)\) 中数的位置上不能同时出现 \(f(b),f(c)\) 中的数
有了以上性质，对于某些位置的数已经确定的情况，可以很快判断出是否无解。然后阶乘统计答案即可。注意考虑 \(1\) 的情况。
时空复杂度：\(O(nlogn) + O(n)\)
关键字：结论，数论，排列组合