作者：桂。
时间：2017-05-22 12:12:43
链接：http://www.cnblogs.com/xingshansi/p/6884273.html
前言
一、问题描述
经典的鸡尾酒宴会问题（cocktail party problem）。假设在party中有n个人，他们可以同时说话，我们也在房间中一些角落里共放置了n个声音接收器（Microphone）用来记录声音。宴会过后，我们从n个麦克风中得到了一组数据，i表示采样的时间顺序，也就是说共得到了m组采样，每一组采样都是n维的。我们的目标是单单从这m组采样数据中分辨出每个人说话的信号。
将第二个问题细化一下，有n个信号源，
，每一维都是一个人的声音信号，每个人发出的声音信号独立。A是一个未知的混合矩阵（mixing matrix），用来组合叠加信号s，那么
x的意义在上文解释过，这里的x不是一个向量，是一个矩阵。其中每个列向量是，
，表示成图就是：
的每个分量都由
的分量线性表示。A和s都是未知的，x是已知的，我们要想办法根据x来推出s。这个过程也称作为盲信号分离。
令，那么
将W表示成
其中，其实就是将
写成行向量形式。那么得到：
ICA的主要任务是估计解混矩阵W。
二、理论求解(不感兴趣可跳过)
A-理论基础
标准ICA理论有几个支撑点：
1）各源信号统计独立；
2）至多有一个源信号服从Gauss分布
对于，并假设
，则有：
另一方面，对于任意正交矩阵：，令
：
可见混合矩阵无法有效估计。
3）混合矩阵为方阵
B-理论求解
1-中心极限定理：
2-非高斯性度量
a)利用统计量
峭度（kurtosis）
峭度基本性质：
b)利用信息论知识
熵的定义：
负熵：
给出基于KL散度的定义：
互信息:
考虑负熵的定义，上式重写为：
该式表明：最小化互信息等价于最大化负熵。
对于负熵，有时为了简化常用近似的方法：
上面的逼近通常不够理想，改进版的近似：
其中，且：
c)利用概率估计
利用MLE准则进行参数估计。
三、算法实现
给出利用概率估计的算法原理，准则函数（取对数）：
其中：，从而
。这里的g表示概率密度，可以用sigmoid函数，也可以用tan函数等等，以sigmoid函数为例：
由于：，利用梯度下降法求解。给出梯度的计算公式：
给出主要code实现：
for iter=1:length(anneal)
iter
% Randomly interate through the samples running stochastic gradient descent
rowIndices = randperm(m);
for i = 1:length(rowIndices)
rowIndex = rowIndices(i);
% Perform the ICA stochastic gradient descent update
W = W + anneal(iter) * ((ones(n,1)-2*ones(n,1)./(ones(n,1)+exp(-W*mix(rowIndex,:)')))*mix(rowIndex,:) + (W')^-1);
end
end;
四、其他
A-ICA的不确定性
1-分离信号幅度与初始相位的不确定性
信源信号S和混合矩阵A：
可以看出，对于实数信号产生幅度不确定性，对于复数信号，产生幅度与相位的不确定性。
幅度的不确定性可以采用假设信号单位方差的方法修正。
2-分离信号的次序不确定性
P是任意置换矩阵，这就造成了分离信号次序的不确定性。
B-ICA中的预处理
1-中心化
ICA算法中，均值为零可以使得很多相乘项为零，简化算法复杂性。
2-白化处理
B为白化矩阵。白化操作之前有介绍，白化处理已经包含了中心化。ICA中的白化通常指满秩的白化。
白化的本质就是旋转+方差单位化。白化操作是去除信号的相关性，以基于信息论的ICA为例，各个概率密度独立是理论假设的基本前提。
参考
- http://www.cnblogs.com/jerrylead/archive/2011/04/19/2021071.html