[LOJ#6259]「CodePlus 2017 12 月赛」白金元首与独舞
试题描述
うそだよ~ 河北省怎么可能有 Stalin。
可是…… 可是如果 Stalin 把自己当作炸弹扔到地堡花园里来了呢？
怀揣着这份小小的希望，元首 Adolf 独自走进了花园。终有一天会重逢的吧，Stalin。或许是在此处，或许是在遥远的彼方。
无论如何，在此之前，好好装点一番花园，编排一段优美的舞步吧！
元首把花园分为 \(n\) 行 \(m\) 列的网格。每个格子中都可以放置一个标识，指向上、下、左、右四个方向中的任意一个。元首位于一个格子时，会按照其中标识所指的方向进入周围的格子，或者走出花园（即目的格子不在网格之内）。举个例子 —— 对于下面的放置方式，元首从第 \(3\) 行第 \(2\) 列的格子开始，会沿着以红色标出的路径走出花园；从第 \(2\) 行第 \(2\) 列的格子开始，则会在以蓝色标出的环路内不断地行走。
元首已经设计好了大部分格子的标识。元首用字符 L、R、U、D 分别表示指向左、右、上、下四个方向的标识，用字符 . 表示未决定的格子。现在，元首希望将每个 . 替换为 L、R、U、D 中任意一种，使得从花园中的任意一个格子出发，按照上述规则行走，都可以最终走出花园。
你需要编写程序帮助元首计算替换的不同方案数。两个方案不同当且仅当存在一个格子，使得两个方案中该格子内的标识不同。当然，由于答案可能很大，只需给出方案数除以 \(10^9 + 7\) 所得的余数即可。
输入
从标准输入读入数据。
输入的第一行包含一个正整数 \(T\) —— 测试数据的组数。接下来包含 \(T\) 组测试数据，格式如下，测试数据间没有空行。
第 \(1\) 行：两个空格分隔的正整数 \(n\)、\(m\) —— 依次表示花园被分成的行数和列数。
接下来 \(n\) 行：每行一个长度为 \(m\) 的由字符
L、R、U、D和.组成的字符串 —— 表示花园内已经确定的格子状态。
输出
输出到标准输出。
对于每组测试数据输出一行 —— 满足条件的方案数除以 \(10^9 + 7\) 所得的余数。
输入示例
5
3 9
LLRRUDUUU
LLR.UDUUU
LLRRUDUUU
4 4
LLRR
L.LL
RR.R
LLRR
4 3
LRD
LUL
DLU
RDL
1 2
LR
2 2
..
..
输出示例
3
8
0
1
192
数据规模及约定
令 \(k\) 表示标记未确定（即包含 “.”）的格子总数。
对于所有数据，有 \(1 \leq T \leq 10\)，\(1 \leq n, m \leq 200\)，\(0 \leq k \leq \min(nm, 300)\)。
题解
矩阵树定理，有向图有根树的情况。
去掉所有自环，主对角线上第 \(i\) 行第 \(i\) 列是 \(i\) 这个点的出度，剩下的是邻接矩阵取相反数。然后求的是删掉根节点所在行列的余子式的行列式。
注意这个求的是指向根的树形图
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define rep(i, s, t) for(int i = (s); i <= (t); i++)
#define dwn(i, s, t) for(int i = (s); i >= (t); i--)
int read() {
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(!isdigit(c)){ if(c == '-') f = -1; c = getchar(); }
while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - '0'; c = getchar(); }
return x * f;
}
#define maxr 210
#define maxnode 40010
#define maxn 310
#define MOD 1000000007
#define LL long long
int r, c;
char Map[maxr][maxr];
struct Graph {
int n, m, head[maxnode], nxt[maxnode], to[maxnode];
Graph() {}
void clear() {
m = 0; memset(head, 0, sizeof(head));
return ;
}
void AddEdge(int a, int b) {
to[++m] = b; nxt[m] = head[a]; head[a] = m;
return ;
}
} G;
int id(int i, int j) { return (i - 1) * c + j; }
int vis[maxnode];
bool dfs(int u) {
if(vis[u] == 2) return 0;
if(vis[u]) return 1;
vis[u] = 2;
for(int e = G.head[u]; e; e = G.nxt[e]) if(!dfs(G.to[e])) return 0;
vis[u] = 1;
return 1;
}
int fa[maxnode];
int findset(int x) { return x == fa[x] ? x : fa[x] = findset(fa[x]); }
int n, trid[maxnode];
int ID(int u) { return trid[u] ? trid[u] : trid[u] = ++n; }
int A[maxn][maxn], tA[maxn][maxn];
void MatAddEdge(int a, int b) {
if(a == b) return ;
tA[a][a]++; tA[a][b]--;
return ;
}
void elim(int *a, int *b, int tar) {
if(!b[tar]) return ;
int rate = a[tar] / b[tar];
rep(i, 1, n) a[i] = ((LL)a[i] - (LL)b[i] * rate % MOD + MOD) % MOD;
elim(b, a, tar);
return ;
}
int solve() {
n--;
int sgn = 1;
rep(i, 1, n) rep(j, 1, n) if(A[i][j] < 0) A[i][j] += MOD;
rep(i, 1, n)
rep(j, i + 1, n) if(A[j][i]) {
elim(A[i], A[j], i);
if(!A[i][i]) swap(A[i], A[j]), sgn = -sgn;
}
int sum = 1;
rep(i, 1, n) sum = (LL)sum * A[i][i] % MOD;
return (sum * sgn + MOD) % MOD;
}
int main() {
int T = read();
while(T--) {
r = read(); c = read(); G.n = r * c + 1; G.clear();
rep(i, 1, G.n) fa[i] = i;
rep(i, 1, r) scanf("%s", Map[i] + 1);
rep(i, 1, r) rep(j, 1, c) if(isalpha(Map[i][j])) {
if(Map[i][j] == 'D') {
G.AddEdge(id(i, j), i < r ? id(i + 1, j) : G.n);
int u = findset(id(i, j)), v = findset(i < r ? id(i + 1, j) : G.n);
if(u != v) fa[v] = u;
}
if(Map[i][j] == 'U') {
G.AddEdge(id(i, j), i > 1 ? id(i - 1, j) : G.n);
int u = findset(id(i, j)), v = findset(i > 1 ? id(i - 1, j) : G.n);
if(u != v) fa[v] = u;
}
if(Map[i][j] == 'R') {
G.AddEdge(id(i, j), j < c ? id(i, j + 1) : G.n);
int u = findset(id(i, j)), v = findset(j < c ? id(i, j + 1) : G.n);
if(u != v) fa[v] = u;
}
if(Map[i][j] == 'L') {
G.AddEdge(id(i, j), j > 1 ? id(i, j - 1) : G.n);
int u = findset(id(i, j)), v = findset(j > 1 ? id(i, j - 1) : G.n);
if(u != v) fa[v] = u;
}
}
memset(vis, 0, sizeof(vis));
bool ok = 1;
rep(i, 1, G.n) if(!vis[i] && !dfs(i)){ puts("0"); ok = 0; break; }
if(!ok) continue;
memset(trid, 0, sizeof(trid)); n = 0;
memset(tA, 0, sizeof(tA));
rep(i, 1, r) rep(j, 1, c) if(Map[i][j] == '.') {
int u = findset(id(i, j));
MatAddEdge(ID(u), ID(findset(i < r ? id(i + 1, j) : G.n)));
MatAddEdge(ID(u), ID(findset(i > 1 ? id(i - 1, j) : G.n)));
MatAddEdge(ID(u), ID(findset(j < c ? id(i, j + 1) : G.n)));
MatAddEdge(ID(u), ID(findset(j > 1 ? id(i, j - 1) : G.n)));
}
int ci = 0, cj = 0;
rep(i, 1, n) if(i != ID(findset(G.n))) {
ci++;
cj = 0;
rep(j, 1, n) if(j != ID(findset(G.n))) A[ci][++cj] = tA[i][j];
}
printf("%d\n", solve());
}
return 0;
}