【一】

对于一类转移方程:

f[i]=max{a[i]*b[j]+c[i]+d[j]}

a[i]和c[i]是开始求解前就知道常数,b[j]和d[j]知道f[j]后就知道有关

可以使用斜率优化(不是这个形式就尽量往这个形式化)


{以下讨论不严格区分优于和不差于}

【决策单调性】:

对于两个转移j和k,设b[j]<b[k]

假设j比k优或相等,把式子一化就变成了(注意bj-bk是负数啊,我对不起小新)

-a[i]>=(d[k]-d[j])/((b[k]-b[j])

这是一个斜率的形式,记slope(j,k)=(d[k]-d[j])/((b[k]-b[j])

那么,-a[i]>=slope(j,k)时j转移比k转移优

对于一个状态就可以判断两个转移谁更优了


对于三个转移x y z ,bx<by<bz

如果slope(x,y)<=slope(y,z),y一定不是任何一个状态的最优转移

证明:

假设y是p的最优转移,-a[p]<=slope(x,y)<=slope(y,z),所以z比y优


然后,这不就是个上凸壳


对于f[i]=min{a[i]*b[j]+c[i]+d[j]},只是把不等号反转而已,-a[i]<=slope(j,k)时j转移比k转移优,是一个下凸壳


上下凸壳不是绝对的,有时候有迷之负数

图形化的考虑,那很像直线方程对吧

斜率形式+j的常数项是y,*j的常数项是x

 −a[i]∗b[j]+f[i]=c[j]+d[i]

连接


【二】

如何维护这个凸壳?

以min为例,最优转移就是求第一点j,slope(j-1,j)<=-a,slope(j,j+1)>=-a,也就是斜率为-a的直线与这个凸壳的切点

1.b单调,-a单调,单调队列

  • 插入前判断队首是不是最优转移,不是弹出队首
  • 凸壳只在一侧插入点且最优转移位置不断单向移动,插入时维护凸壳弹队尾

  

2.b单调,-a不单调,队首不能弹,

3.

4.

04-16 18:18