17082 两个有序数序列中找第k小（优先做）

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题型: 编程题语言: G++;GCC;VC

Description

已知两个已经排好序（非减序）的序列X和Y，其中X的长度为m，Y长度为n，

现在请你用分治算法，找出X和Y的第k小的数，算法时间复杂度为O(max{logm, logn})。

此题请勿采用将序列X和Y合并找第k小的O(m+n)的一般方法，要充分利用X和Y已经排好序的这一特性。

输入格式

第一行有三个数，分别是长度m、长度n和k，中间空格相连（1<=m,n<=100000; 1<=k<=m+n）。

第二行m个数分别是非减序的序列X。第三行n个数分别是非减序的序列Y。

输出格式

序列X和Y的第k小的数。

输入样例

5 6 7

1 8 12 12 21

4 12 20 22 26 31

输出样例

提示

假设：X序列为X[xBeg...xEnd]，而Y序列为Y[yBeg...yEnd]。

将序列X和Y都均分2段，即取X序列中间位置为 xMid (xMid = xBeg+(xEnd-xBeg)/2)，也同理取序列Y中间位置为yMid。

比较X[xMid]和Y[yMid]的大小，此时记录X左段和Y左段元素个数合计为halfLen，即halfLen = xMid-xBeg+yMid-yBeg+2。

1. 当X[xMid] < Y[yMid]时，在合并的数组中，原X[xBeg...xMid]所有元素一定在Y[yMid]的左侧，

   （1） 若k < halfLen，则此时第k大的元素一定不会大于Y[yMid]这个元素，

         故以后没有必要搜索 Y[yMid...yEnd]这些元素，可弃Y后半段数据。

         此时只需递归的对X序列+Y序列的前半段，去搜索第k小的数。

   （2） 若k >= halfLen，则此时第k大的元素一定不会小于X[xMid]这个元素，

         故以后没有必要搜索 X[xBeg...xMid]这些元素，可弃X前半段数据。

         此时只需递归的对X序列的后半段+Y序列，去搜索第 k-(xMid-xBeg+1）小的数。

2. 当X[xMid] >= Y[yMid]时，在合并的数组中，原Y[yBeg...yMid]的所有元素一定在X[xMid]的左侧，

   （1） 若k < halfLen，则此时第k大的元素一定不会大于X[xMid]这个元素，

         故以后没有必要搜索 X[xMid...xEnd]这些元素，可弃X后半段数据。

         此时只需递归的对X序列的前半段+Y序列，去搜索第k小的数。

   （2） 若k >= halfLen，则此时第k大的元素一定不会小于Y[yMid]这个元素，

         故以后没有必要搜索 Y[yBeg...yMid]这些元素，可弃Y前半段数据。

         此时只需递归的对X序列+Y序列的后半段，去搜索第 k-(yMid-yBeg+1）小的数。

递归的边界，如何来写？

1) if (xBeg > xEnd) return Y[yBeg + k - 1];  //X序列为空时，直接返回Y序列的第k小元素。

2) if (yBeg > yEnd) return X[xBeg + k - 1];  //Y序列为空时，直接返回X序列的第k小元素。

效率分析：

T(m,n)表示对长度为m的有序的X序列和长度为n的有序的Y序列，搜索第k小元素的复杂度。

T(m,n)=1   m=0或n=0

T(m,n) <= max{T(m/2,n), T(m,n/2)} + O(1)

则T(m,n) = O(max{logm, logn})

我的代码实现

 #include<stdio.h>

 #define N 100005

 int X[N], Y[N];

 void findMinK(int xBeg,int xEnd,int yBeg,int yEnd,int k){

     int xMid,yMid,halfLen;

     xMid=(xBeg+xEnd+)/;

     yMid=(yBeg+yEnd+)/;

     halfLen=xMid-xBeg+yMid-yBeg+;

     if(X[xMid]<Y[yMid]) {

         if(k<halfLen)yEnd=yMid-;

         else{

             k-=(xMid-xBeg+);

             xBeg=xMid+;

         }

     }

     if(X[xMid]>=Y[yMid]) {

         if(k<halfLen)xEnd=xMid-;

         else{

             k-=(yMid-yBeg+);

             yBeg=yMid+;

         }

     }

     if (xBeg > xEnd) {printf("%d",Y[yBeg + k - ]);return;}  //X序列为空时，直接返回Y序列的第k小元素。

      if (yBeg > yEnd) {printf("%d",X[xBeg + k - ]);return;}  //Y序列为空时，直接返回X序列的第k小元素。

     findMinK(xBeg,xEnd,yBeg,yEnd,k);

 }

 int min(int a,int b){

     if(a<b)return a;

     else return b;

 }

 int max(int a,int b){

     if(a>b)return a;

     else return b;

 }

 int main(){

     int n,m,k;

     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);

         for(int i=;i<=n;i++){

         scanf("%d",&X[i]);

         }

     for(int i=;i<=m;i++){

         scanf("%d",&Y[i]);

     }

     if(k==)printf("%d",min(X[],Y[]));

     else if(k==n+m)printf("%d",max(X[n],Y[m]));

     else findMinK(,n,,m,k);

     return ;

 }