对于一个有向带权图，进行一种操作（v,d），对以点v为终点的边的权值-d，对以点v为起点的边的权值+d。现在给出一个有向带权图，为能否经过一系列的（v,d）操作使图上的每一条边的权值为正，若能，求最小边权的最大值。
不得不说，图论与动态规划的产物实在是神奇！！
1、既然是“最小值最大”问题，容易想到二分答案。
2、抽象出数学模型。这个在《训练指南》里写得已经很详细，鄙人还是以自己的理解表达一下。
这里有两处特别值得学习的地方。一、叠加：假设每个点都对应着一个（v,d）操作，那么对于边u->v来说，受到两个端点的影响，最终的权值为（c+du-dv）。二、抽象：这个没学过差分约束真心想不到。之前想到了二分答案，那么我们假设最终的“最小值最大”为x，那么所有边满足（c+du-dv）>=x，变形后(dv-du)<=(c-x)。由于是第一次做这种类型的题，无法妄下结论，但书上所说到的“最短路中的不等式d[v]<=d[u]+w(u,v)”，很明显，我们常用的的不等式是d[v]>=d[u]+w(u,v)。所以，这里先记住这个模型：形如xj-xi
<=b，建边i->j，边权为b。（提出疑问：若得到的模型为xi-xj>=b，变形后xj-xi<=-b => 建边i->j，边权为-b）。
至于书上说的"加源点s"，完全不知为何物= =。不过不妨碍我们做题。由于采用二分答案，边权c是变值，处理方式很直白的把所有的边-x，判完负环再做+x就好了。
为何判负环就可行呢？我们通过二分答案，改变b的值，每次都得到了一个的形如xj-xi<=b的不等式组，当不等式组不成立即说明当前二分的值不成立。举个例子：有个环1->2,2->3,3->1，对应的不等式x2-x1<=ca,x3-x2<=cb,x1-x3<=cc，若这是个负环，说明等式右侧（ca+cb+cc）<0，而等式左侧=0，为恒不等式。所以一旦存在负环，不等式组不成立，差分约束系统无解。
注意：
1、先做完特判，再处理其他数据，这点是通用的。（我一开始把判“No Solution”放在二分后面了，TLE。当然现在也不过是飘过时限= =）
判“Inf”，无环，就不会在同一个圈中两两影响。判“No”要用1而不能是0，因为最后求得是正数。
2、二分写得时候要注意，要绝对防止 l,r 在相邻两个数之间不变。e.g：第三组样例，l=3,r=4,x作为中间值，当x==3，成立=>l=x;当x==4,不成立=>r=x。死循环了（偶真是弱爆了，明明很简单的问题还要想半天）
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<algorithm>
#define clr(a,m) memset(a,m,sizeof(a))
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std; const int MAXN=;
const int INF =1e8; struct Edge{
int u,v,c;
}; int inq[MAXN],cnt[MAXN],d[MAXN];
vector<Edge>edge;
vector<int>G[MAXN]; void init(int n)
{
edge.clear();
rep(i,,n)
G[i].clear();
} void add(int u,int v,int c)
{
edge.push_back((Edge){u,v,c});
int m=edge.size();
G[u].push_back(m-);
} double build(int m)
{
int u,v;
int c,up=;
rep(i,,m){
scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
up=max(up,c);
add(u,v,c);
}
return up;
} bool BF(int st,int n)
{
clr(inq,);
clr(cnt,);
queue<int>q;
rep(i,,n){
if(i==st)d[i]=;
else d[i]=INF;
q.push(i);
}
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
inq[u]=false;
int sz=G[u].size();
rep(i,,sz-){
Edge e=edge[G[u][i]];
if(d[e.v]>d[u]+e.c){
d[e.v]=d[u]+e.c;
if(!inq[e.v]){
q.push(e.v);
inq[e.v]=true;
if(++cnt[e.v]>n)
return true;
}
}
}
}
return false;
} bool test(int n,int m,int x)
{
rep(i,,m-)
edge[i].c-=x;
bool flog=BF(,n);
rep(i,,m-)
edge[i].c+=x;
return flog;
} int main()
{
int T,n,m;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
init(n);
int up=build(m); if(!test(n,m,up+))
printf("Infinite\n");
else if(test(n,m,))
printf("No Solution\n");
else{
int l=,r=up;
while(l<r)
{
int x=l+(r-l+)/;
if(test(n,m,x))
r=x-;
else
l=x;
}
printf("%d\n",l);
}
}
return ;
}
后记：
1、书上所说“最短路中的不等式d[v]<=d[u]+w(u,v)”指的是最短路的关系式，而不是松弛操作。表示从起点s->v的最短路恒<=s->u的最短路+w(u,v)。
2、根据不等式的变形，的确可以自由选择使用最长路还是最短路求解，但两种方法所得的答案不同，具体解释http://www.cnblogs.com/zstu-abc/p/3277305.html