虽然是概述，但内容并还是有些多，写上一篇PBR概念概述后，也在考虑怎么继续下去，最后还是觉得先多写一些东西再慢慢总结，所以还是尽量把这些年PBR相关的Paper精粹沉淀下来吧。
因为UE4开源的缘故，所以一开始还从它入手。相关的ppt和notebook可以从下面的链接下载，同期的黑色行动2（black op2）的PBR使用也是很有参考价值的，加上本文里也有OP2的IBL近似方法的介绍，如果没看过那也很值得下载的。
UE4的paper里的PBR介绍包括三部分：Shading Model ，Lighitng Model ，Material Model，这篇就先从Shading Model，也就是使用的BRDF开始吧，但要满足一个游戏的所有渲染效果，靠一个通用的BRDF也是无法达到的，所以也只能算是个概述吧，随着使用和学习的应用，也会继续补完Shading Model的介绍的。
首先，PBR最大的特点还是引入了微平面概念
着色平面不再是一个完美的反射平面，而是想象成更多微小的反射平面组成。所以也就有了粗糙度的概念
Diffuse BRDF
可以选择简单的Lambert或支持Microfacet的Oren-Nayar
UE4默认使用的是Lambert
Specular BRDF
支持微平面概念的 Cook-Torrance Microfacet BRDF ，在直接照明和间接照明的Shading Model里使用
由Fresnel项，NDF(Normal Distribution Function)项 Geometry Factor项来组成，以获得更加物理的效果
F D G项会根据设备性能选择最适合的公式
暂定 F是 Schlick’的近似
F0是垂直入射时的反射率(法线方向的Specular Reflectance)，一般也就是存在Specular Color map里的数值了。
NDF(Normal Distribution Function) GGX
Geometry Factor GGX
直接光照还是比较简单的，将公式和需要的参数直接套入现有的渲染管线就可以了。Forward Rendering还好，多加几个参数也没有影像，如果是Deferred Rendering的话，就需要把F0(Specular Color)放入到Gbuffer了。但这样对于以前CE那种Gbuffer还是有影响的。
孤岛危机2 Deferred Lighting Slim G-Buffer
§A8B8G8R8
World Space BF Normals 24bpp + Glossiness 8bpp RT1
World Space BF Normals 24bpp + Glossiness 8bpp RT1
§Readback
D24S8 Depth + Stencil bits for tagging indoor surfaces 8pp RT0
D24S8 Depth + Stencil bits for tagging indoor surfaces 8pp RT0
孤岛危机3 Hybrid Deferred Rendering Thin G-Buffer 2.0 只传入Specular Color的灰度值
罗马之子 Deferred Shading ， PBR需要完整的Specular Color
而UE4是提供了forward rendering和Deferred Shading两种方案，因为Computrer Shader可以在TBDR（Tile Based Deferred Rendering）上的应用，所以Deferred lighting这种方法基本上到PBR上已经基本没有什么优势了。基本上一个比较完整的GBuffer+TBDR管线算是现在的主流设计方式了。这些到了后面PBR渲染管线设计时再具体描述吧。
Image Based Lighting
使用预处理的环境光贴图来做光源的间接照明方案。
原始公式IBL公式，u是入射光方向，v是视点方向，Li是每一个入射光，也就是Environment Map的信息，f是我们前面提到的BRDF着色模型
重要度采样（Importance Sampling）
原始公式是要对周围光照做一个均匀的随机Sampling（Hammersley 随机采样），但像光滑材质上，大量的光会聚集在Specular方向上(镜面反射方向)，均匀采样无法获得准确的结果。在无法改变采用分布的情况下，使用PDF(probability density function 概率采样函数)是一个近似解决的方法，把PDF(p）在公式里作为分母使用，PDF是0~1的一个浮点数，在接近Specular方向，这种采样数需要较高的地方，PDF值会变得较低，提高了最后采样的数值(间接来说就是提升了次数)，相反，在采样数较低的地方，PDF值会更高，间接减少采样次数 。也就有了下面这个公式的近似。
float3 ImportanceSampleGGX( float2 Xi, float Roughness , float3 N )
{
float a = Roughness * Roughness;
float Phi = * PI * Xi.x;
float CosTheta = sqrt( ( - Xi.y) / ( + (a*a - ) * Xi.y ) );
float SinTheta = sqrt( - CosTheta * CosTheta );
float3 H;
H.x = SinTheta * cos( Phi );
H.y = SinTheta * sin( Phi );
H.z = CosTheta;
float3 UpVector = abs(N.z) < 0.999 ? float3(,,) : float3(,,);
float3 TangentX = normalize( cross( UpVector , N ) );
float3 TangentY = cross( N, TangentX );
// Tangent to world space
return TangentX * H.x + TangentY * H.y + N * H.z;
}
float3 SpecularIBL( float3 SpecularColor , float Roughness , float3 N, float3 V )
{
float3 SpecularLighting = ;
const uint NumSamples = ;
for( uint i = ; i < NumSamples; i++ )
{
float2 Xi = Hammersley( i, NumSamples );
float3 H = ImportanceSampleGGX( Xi, Roughness , N );
float3 L = * dot( V, H ) * H - V;
float NoV = saturate( dot( N, V ) );
float NoL = saturate( dot( N, L ) );
float NoH = saturate( dot( N, H ) );
float VoH = saturate( dot( V, H ) );
if( NoL > )
{
float3 SampleColor = EnvMap.SampleLevel( EnvMapSampler , L, ).rgb;
float G = G_Smith( Roughness , NoV, NoL );
float Fc = pow( - VoH, );
float3 F = ( - Fc) * SpecularColor + Fc;
// Incident light = SampleColor * NoL
// Microfacet specular = D*G*F / (4*NoL*NoV)
// pdf = D * NoH / (4 * VoH)
SpecularLighting += SampleColor * F * G * VoH / (NoH * NoV);
}
}
return SpecularLighting / NumSamples;
}
上面是计算Specular间接光的shader 伪代码，1024次对实时的GPU来说还是很难的，需要对公式做拆分
把上面的公式拆分成两部分，而第1个部分和环境光贴图相关的，可以一起进行预计算，也是下面要说到的Pre-Filtered Environment Map
Pre-Filtered Environment Map
而UE4在拆分时还是做了一些额外的改动，那就是第1个部分里的除了采样环境光外，为了更多预计算，把第2部分里基于GGX的PDF也放到了预处理里，PDF公式里需要的V(视口向量)和N(法线)，所以这里只能就只能假设n = v = r了。
float3 PrefilterEnvMap( float Roughness , float3 R )
{
float3 N = R;
float3 V = R;
float3 PrefilteredColor = ;
const uint NumSamples = ;
for( uint i = ; i < NumSamples; i++ )
{
float2 Xi = Hammersley( i, NumSamples );
float3 H = ImportanceSampleGGX( Xi, Roughness , N );
float3 L = * dot( V, H ) * H - V;
float NoL = saturate( dot( N, L ) );
if( NoL > )
{
PrefilteredColor += EnvMap.SampleLevel( EnvMapSampler , L, ).rgb * NoL;
TotalWeight += NoL;
}
}
return PrefilteredColor / TotalWeight;
}PrefilterEnvMap生成部分的shader代码。
而后面的部分，我们可以通过Schlick近似的Fresnel公式来进行拆分。
这个时候，我们可以把方程看成是F0 * Scale + Offset的形式了，F0也就是Spcecualr Color可以从材质获取，也就是说，我们把Scale和Offest预计算出来。并通过roughness和NdotV，也就是costheta作为LUT的查找项
这样就可以把公式重新组合起来：
float2 IntegrateBRDF( float Roughness , float NoV )
{
float3 V;
V.x = sqrt( 1.0f - NoV * NoV ); // sin
V.y = ;
V.z = NoV; // cos
float A = ;
float B = ;
const uint NumSamples = ;
for( uint i = ; i < NumSamples; i++ )
{
float2 Xi = Hammersley( i, NumSamples );
float3 H = ImportanceSampleGGX( Xi, Roughness , N );
float3 L = * dot( V, H ) * H - V;
float NoL = saturate( L.z );
float NoH = saturate( H.z );
float VoH = saturate( dot( V, H ) );
if( NoL > )
{
float G = G_Smith( Roughness , NoV, NoL );
float G_Vis = G * VoH / (NoH * NoV);
float Fc = pow( - VoH, );
A += ( - Fc) * G_Vis;
B += Fc * G_Vis;
}
}
return float2( A, B ) / NumSamples;
}
最后把第一部分pre-fileter的cubemap和第2部分计算的部分相乘，就都出IBL的最终结果了
float3 ApproximateSpecularIBL( float3 SpecularColor , float Roughness , float3 N, float3 V )
{
float NoV = saturate( dot( N, V ) );
float3 R = * dot( V, N ) * N - V;
float3 PrefilteredColor = PrefilterEnvMap( Roughness , R );
float2 EnvBRDF = IntegrateBRDF( Roughness , NoV );
return PrefilteredColor * ( SpecularColor * EnvBRDF.x + EnvBRDF.y );
}
这里需要注意一点 ： EPIC在ppt里提供的shader代码，并不是实际运行的代码，也就是说PrefilterEnvMap和 IntegrateBRDF这两个函数还是ALU方式的实现，而实际上是应该用LUT的方式来替换的。也就是下面的shader代码
half3 EnvBRDF( half3 SpecularColor, half Roughness, half NoV )
{
// Importance sampled preintegrated G * F
float2 AB = Texture2DSampleLevel( PreIntegratedGF, PreIntegratedGFSampler, float2( NoV, Roughness ), ).rg;
// Anything less than 2% is physically impossible and is instead considered to be shadowing
float3 GF = SpecularColor * AB.x + saturate( 50.0 * SpecularColor.g ) * AB.y;
return GF;
}
PreIntegratedGF就是我们前面提到的那张红绿的LUT图，这里最后算得的结果，才是UE4最终选择的近似方案，也是
里后面的部分，而前面部分则保存在AmbientCubemap里，对AmbientCubemap采样
floatMip=ComputeCubemapMipFromRoughness(GBuffer.Roughness,AmbientCubemapMipAdjust.w );
float3SampleColor=TextureCubeSampleLevel(AmbientCubemap,AmbientCubemapSampler, R,Mip).rgb; SpecularContribution+=SampleColor*EnvBRDF(GBuffer.SpecularColor,GBuffer.Roughness,NoV);再把结果相乘，就得到了最终的Specular的颜色。
不同精度条件下的渲染效果
上一排是完全在shader里计算的，中间是按正规拆分后近似的结果(PDF在shader里计算)，下面则是完全近似的方法(PDF放在了Pre-Filtered EnvMap里，假设r = n = v)
同样的近似方法，在非金属(绝缘体)上的效果比较
PS:最后这里还是想注释一下，也就是PrefilterEnvMap具体的生成算法，以及如何根据不同的粗糙度生成mip，ue4的ppt里并没有涉及，这个我想会在以后的文章里具体介绍吧。
另外，在GLES2.0的移动设备上，因为texutre sample最高只有8张，UE4为了节省LUT，还提供另外一种更加近似的方式，应该是参考了黑色行动2（后面简称ops2吧）里的方法，
在他们的paper里把这个叫做“ground truth”
这里还是是想介绍一下这种方法，这里我们可以看到ops2里也做了和ue4类似的拆分。
ground truth的近似
前面部分是Pre-filtered Environment map，后面则是Environment BRDF，不过他这并没有PDF，而是直接把D项（Normal Distribution Function）放到前面去预计算了。
然后再说后面部分的拆分，前面提到，UE4是通过把Fresnel公式的F0提出来，做成F0 * Scale + Offset的方式，再Scale和Offset索引的存到了一张2D LUT上。靠roughness和NoV(N dot V)来查找
而ops2的方法，也一样是从Schlick的Fresnel公式入手来拆分(这里rf0和F0是一样的)。
这里是从加法这里做拆分
大概就变成了 rf0 * a1+ (1-rf0) * a0的形式，这个公式很容易理解为一个关于rf0的一个线性插值公式。所以只要能计算出a1 (rf0 = 1)和a0(rf0 = 0)，就可以通过线性公式求出任意rf0情况下的结果了。
接下来就是想办法来近似出a0和a1的曲线函数了
ground truth rf0 = 0 的曲线
ground truth rf0 = 1 的 曲线
然后他们整出两个近似的曲线函数出来
float a0( float g, float NoV )
{
float t1 = 11.4 * pow( g, ) + 0.1;
float t2 = NoV + ( 0.1 – 0.09 * g );
return ( – exp( -t1 * t2 ) ) * 1.32 * exp2( -10.3 * NoV );
} float a1( float g, gloat NoV )
{
float t1 = max( 1.336 – 0.486 * g, );
float t2 = 0.06 + 3.25 * g + 12.8 * pow( g, );
float t3 = NoV + min( 0.125 – 0.1 * g, 0.1 );
return min( t1 – exp2( -t2 * t3 ), );
}
并进一步的做优化
float a0f( float g, float NoV )
{
float t1 = 0.095 + g * ( 0.6 + 4.19 * g );
float t2 = NoV + 0.025;
return t1 * t2 * exp2( – * NoV );
}
float a1f( float g, float NoV )
{
float t1 = 9.5 * g * NoV;
return 0.4 + 0.6 * ( – exp2( -t1 ) );
}rf0(ground truth)是点线，a0是实线，a0f是线段
rf1(ground truth)是点线，a1是实线，a1f是线段
但这个曲线被美术人员反映环境光反射效果过亮，特别是dielectric（电介质/绝缘体/非金属）和gloss低的情况。所以就把rf0 = 0.04这个对非金属比较通用的值，作为求a0的参数
ground truth rf0 = 0.04的 曲线 不在是a0曲线，而叫a004曲线了- -
那么，拟合出来的更廉价的a004曲线的公式
float a004( float g, float NoV )
{
float t = min( 0.475 * g, exp2( -9.28 * NoV ) );
return ( t + 0.0275 ) * g + 0.015;
}ground truth rf0 =0.04是点线 a004是实线
另外，因为在游戏里，金属的使用情况并不多，也就是说a1(rf0 = 1)在实际计算插值时，贡献的参数并不是那么占主要的，所以，可以做a1f做进一步粗糙近似成a1vf
float a1vf( float g )
{
return 0.25 * g + 0.75;
}
再用a004和a1vf算出新的a0r
float a0r( float g, float NoV )
{
return ( a004( g, NoV ) - a1vf( g ) * 0.04 ) / 0.96;
}至此，a0和a1的最终近似版本也完成了，前面我们提到实际计算就是关于rf0的插值运算
这里我们把rf0提出来
rf0 * a1+ (1-rf0) * a0 = rf0 (a1 - a0) + a0 ，那么最后的Environment BRDF近似公式
float3 EnvironmentBRDF( float g, float NoV, float3 rf0 )
{
float4 t = float4( /0.96, 0.475, (0.0275 - 0.25 * 0.04)/0.96, 0.25 );
t *= float4( g, g, g, g );
t += float4( , , (0.015 - 0.75 * 0.04)/0.96, 0.75 );
float a0 = t.x * min( t.y, exp2( -9.28 * NoV ) ) + t.z;
float a1 = t.w;
return saturate( a0 + rf0 * ( a1 - a0 ) );
}OP2的近似方法就先讲到这里了，PPT的公式推导还是太简单，建议还是看notebook的吧，如果有问题可以留言给我讨论
UE4的mobile PBR
接下来继续说UE4，他的近似公式也是照抄op2的，
材质为金属时的近似公式
half3 EnvBRDFApprox( half3 SpecularColor, half Roughness, half NoV )
{
const half4 c0 = { -, -0.0275, -0.572, 0.022 };
const half4 c1 = { , 0.0425, 1.04, -0.04 };
half4 r = Roughness * c0 + c1;
half a004 = min( r.x * r.x, exp2( -9.28 * NoV ) ) * r.x + r.y;
half2 AB = half2( -1.04, 1.04 ) * a004 + r.zw;
return SpecularColor * AB.x + AB.y;
}材质为非金属时的近似公式
half EnvBRDFApproxNonmetal( half Roughness, half NoV )
{
// Same as EnvBRDFApprox( 0.04, Roughness, NoV )
const half2 c0 = { -, -0.0275 };
const half2 c1 = { , 0.0425 };
half2 r = Roughness * c0 + c1;
return min( r.x * r.x, exp2( -9.28 * NoV ) ) * r.x + r.y;
}在非金属的情况下，Specular没有颜色而只是一个亮度，这里就假设为0.04了
然后还可以进一步优化，就是在roughness = 1的时候，不在运行上面的拟合函数，而是直接给出一个拟合结果就可以了
DiffuseColor+=SpecularColor*0.45;
SpecularColor=;
下面是和使用黑色行动2里的拟合方式的对比效果
使用LUT的
移动平台，用ALU拟合替代LUT的
最后还有一个 Directional Light的近似，不过感觉还是光照模式说完再写好一些。
就暂时到此为止了，如果有错误还请留言或直接联系我，这里先感谢了