单复变函数几何理论最高的成就我想应该属于Riemann映射定理吧！
Riemann映射定理：$\mathbb C$中任意边界多余一个点的单连通域$D$都与单位圆盘$B(0,1)$等价,即存在着$D$上的单叶全纯函数$f$使得$f(D)=B(0,1)$.而且$f$被如下条件所唯一确定：$$f(a)=0,{\rm arg}f'(a)=\theta$$其中$a$为$D$中任意一点,$\theta$为任意实数.
特别的可以要求$f$不仅双全纯的把$D$映成$B(0,1)$,且可以将$D$中指定的一点$a$映成圆心,即$f(a)=0$,并且在$a$处$f'(a)>0$.
推论：设$D_1,D_2$为$\mathbb C$中任意两个边界对于一点的单连通域,则存在单叶全纯函数$f:D_1\to D_2$使得$f(D_1)=D_2$,并且可以将$D_1$中指定一点$a$映成$D_2$中指定的一点$b$,即$f(a)=b$,同时$f'(a)>0$.