Robots 2019南京网络赛 （概率dp）

Robots

\[Time Limit: 1000 ms \quad Memory Limit: 262144 kB
\]

题意

有一个机器人要从 \(1\) 点走到 \(n\) 点，每走一步都需要一天，并且这一步的代价是已经经过的天数。

思路

将问题拆成两个问题，\(dp1[i]\) 表示从 \(i\) 到 \(n\) 的天数期望，\(dp2[i]\) 表示从 \(i\) 到 \(n\) 的代价期望。

那么就很容易得到

\[dp1[u] = \frac{\sum_{u->v}(dp1[v]) + dp1[u]}{u.size()+1} + 1\\
dp1[u] = \frac{\sum_{u->v}(dp1[v]) + u.size()+1}{u.size()} \\
dp2[u] = \frac{\sum_{u->v}(dp2[v]) + dp2[u]}{u.size()+1} + dp1[u]\\
dp2[u] = \frac{\sum_{u->v}(dp2[v]) + (u.size()+1)*dp1[u]}{u.size()}
\]

/***************************************************************

    > File Name    : a.cpp

    > Author       : Jiaaaaaaaqi

    > Created Time : Mon 09 Sep 2019 10:07:54 PM CST

 ***************************************************************/

#include <map>

#include <set>

#include <list>

#include <ctime>

#include <cmath>

#include <stack>

#include <queue>

#include <cfloat>

#include <string>

#include <vector>

#include <cstdio>

#include <bitset>

#include <cstdlib>

#include <cstring>

#include <iostream>

#include <algorithm>

#define  lowbit(x)  x & (-x)

#define  mes(a, b)  memset(a, b, sizeof a)

#define  fi         first

#define  se         second

#define  pb         push_back

#define  pii        pair<int, int>

typedef unsigned long long int ull;

typedef long long int ll;

const int    maxn = 1e5 + 10;

const int    maxm = 1e5 + 10;

const ll     mod  = 1e9 + 7;

const ll     INF  = 1e18 + 100;

const int    inf  = 0x3f3f3f3f;

const double pi   = acos(-1.0);

const double eps  = 1e-8;

using namespace std;

int n, m;

int cas, tol, T;

vector<int> vv[maxn], rv[maxn];

int ind[maxn];

double dp1[maxn], dp2[maxn];

void solve() {

	queue<int> q;

	dp1[n] = dp2[n] = 0;

	q.push(n);

	while(!q.empty()) {

		int u = q.front();

		q.pop();

		if(u != n) {

			int sz = rv[u].size();

			{

				double ans = 0;

				for(auto v : rv[u]) {

					ans += dp1[v];

				}

				dp1[u] = 1.0*(ans+sz+1)/sz;

			}

			{

				double ans = 0;

				for(auto v : rv[u]) {

					ans += dp2[v];

				}

				dp2[u] = 1.0*(ans+1.0*(sz+1)*dp1[u])/sz;

			}

		}

		for(auto v : vv[u]) {

			ind[v]--;

			if(ind[v] == 0)	q.push(v);

		}

	}

}

int main() {

	// freopen("in", "r", stdin);

	scanf("%d", &T);

	while(T--) {

		scanf("%d%d", &n, &m);

		for(int i=1; i<=n; i++) {

			vv[i].clear();

			rv[i].clear();

			dp1[i] = dp2[i] = 0;

		}

		for(int i=1, x, y; i<=m; i++) {

			scanf("%d%d", &x, &y);

			rv[x].pb(y);

			vv[y].pb(x);

			ind[x]++;

		}

		solve();

		printf("%.2f\n", dp2[1]);

	}

	return 0;

}