【BZOJ4198】[Noi2015]荷马史诗

Description

追逐影子的人，自己就是影子。 ——荷马

Allison 最近迷上了文学。她喜欢在一个慵懒的午后，细细地品上一杯卡布奇诺，静静地阅读她爱不释手的《荷马史诗》。但是由《奥德赛》和《伊利亚特》组成的鸿篇巨制《荷马史诗》实在是太长了，Allison 想通过一种编码方式使得它变得短一些。

一部《荷马史诗》中有 n 种不同的单词，从 1 到 n 进行编号。其中第 i 种单词出现的总次数为 wi。Allison 想要用 k 进制串 si 来替换第 i 种单词，使得其满足如下要求:

对于任意的 1≤i,j≤n，i≠j，都有：si 不是 sj 的前缀。

现在 Allison 想要知道，如何选择 si，才能使替换以后得到的新的《荷马史诗》长度最小。在确保总长度最小的情况下，Allison 还想知道最长的 si 的最短长度是多少？

一个字符串被称为 k 进制字符串，当且仅当它的每个字符是 0 到 k−1 之间（包括 0 和 k−1）的整数。

字符串 Str1 被称为字符串 Str2 的前缀，当且仅当：存在 1≤t≤m，使得 Str1=Str2[1..t]。其中，m 是字符串 Str2 的长度，Str2[1..t] 表示 Str2 的前 t 个字符组成的字符串。

Input

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,k，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种单词，需要使用 k 进制字符串进行替换。

接下来 n 行，第 i+1 行包含 1 个非负整数 wi，表示第 i 种单词的出现次数。

Output

输出文件包括 2 行。

第 1 行输出 1 个整数，为《荷马史诗》经过重新编码以后的最短长度。

第 2 行输出 1 个整数，为保证最短总长度的情况下，最长字符串 si 的最短长度。

Sample Input

4 2
1
1
2
2

Sample Output

12
2

HINT

用 X(k) 表示 X 是以 k 进制表示的字符串。

一种最优方案：令 00(2) 替换第 1 种单词，01(2) 替换第 2 种单词，10(2) 替换第 3 种单词，11(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1×2+1×2+2×2+2×2=12

最长字符串 si 的长度为 2。

一种非最优方案：令 000(2) 替换第 1 种单词，001(2) 替换第 2 种单词，01(2) 替换第 3 种单词，1(2) 替换第 4 种单词。在这种方案下，编码以后的最短长度为：

1×3+1×3+2×2+2×1=12

最长字符串 si 的长度为 3。与最优方案相比，文章的长度相同，但是最长字符串的长度更长一些。

对于所有数据，保证 2≤n≤100000，2≤k≤9。

选手请注意使用 64 位整数进行输入输出、存储和计算。

题解：好吧我这个蒟蒻不会哈夫曼树，不会哈夫曼编码，我只会合并果子~

一开始，我们认为原来有n堆数，每堆数都有权值，将他们扔到优先队列里，每次取出权值和最小的k堆，将他们合成一堆。再扔回到优先队列里去。但是此题还要求最长单词的长度最小，我们就给每堆数维护一个pair，代表它的（权值和）以及（最多的合并次数）。

由于每次取出k个，扔回去一个，最终剩1个，所以要满足n%(k-1)=1（当k不等于2时），所以如果n%（k-1）不等于1时我们要向堆里扔一些权值为0的数补齐。

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <iostream>

#include <queue>

#include <utility>

#define mp(A,B)	make_pair(A,B)

using namespace std;

typedef long long ll;

typedef pair<ll,ll> pll;

priority_queue<pll> pq;

ll n,k;

pll x,y,ans;

int main()

{

	scanf("%lld%lld",&n,&k);

	ll i,a;

	for(i=1;i<=n;i++)	scanf("%lld",&a),pq.push(mp(-a,0));

	while(k!=2&&n%(k-1)!=1)	pq.push(mp(0,0)),n++;

	while(pq.size()!=1)

	{

		x=y=mp(0,0);

		for(i=1;i<=k;i++)

		{

			y=pq.top(),pq.pop();

			x.first+=y.first,x.second=min(x.second,y.second-1);

		}

		ans.first-=x.first,ans.second=max(ans.second,-x.second),pq.push(x);

	}

	printf("%lld\n%lld",ans.first,ans.second);

	return 0;

}

荷马