受限玻尔兹曼机(Restricted Boltzmann Machine,简称RBM)是由Hinton和Sejnowski于1986年提出的一种生成式随机神经网络(generative stochastic neural network)，该网络由一些可见单元(visible unit，对应可见变量，亦即数据样本)和一些隐藏单元(hidden unit，对应隐藏变量)构成，可见变量和隐藏变量都是二元变量，亦即其状态取{0,1}。整个网络是一个二部图，只有可见单元和隐藏单元之间才会存在边，可见单元之间以及隐藏单元之间都不会有边连接，如下图所示：
上图所示的RBM含有12个可见单元(构成一个向量v)和3个隐藏单元(构成一个向量h)，W是一个12*3的矩阵，表示可见单元和隐藏单元之间的边的权重。
1. RBM的学习目标-最大化似然(Maximizing likelihood)
RBM是一种基于能量(Energy-based)的模型，其可见变量v和隐藏变量h的联合配置(joint configuration)的能量为：
（式子-1）
其中θ是RBM的参数{W, a, b}, W为可见单元和隐藏单元之间的边的权重，b和a分别为可见单元和隐藏单元的偏置(bias)。
有了v和h的联合配置的能量之后，我们就可以得到v和h的联合概率：
（式子-2）
其中Z(θ)是归一化因子，也称为配分函数(partition function)。根据式子-1，可以将上式写为：
（式子-3）
我们希望最大化观测数据的似然函数P(v)，P(v)可由式子-3求P(v,h)对h的边缘分布得到:
(式子-4)
我们通过最大化P(v)来得到RBM的参数，最大化P(v)等同于最大化log(P(v))=L(θ)：
(式子-5)
2. RBM的学习方法-CD(Contrastive Divergence，对比散列)
可以通过随机梯度下降(stichastic gradient descent)来最大化L(θ)，首先需要求得L(θ)对W的导数：
(式子-6)
经过简化可以得到：
(式子-7)
后者等于
(式子-8)
式子-7中的前者比较好计算，只需要求vh在全部数据集上的平均值即可，而后者涉及到v，h的全部2种组合，计算量非常大(基本不可解)。
为了解决式子-8的计算问题，Hinton等人提出了一种高效的学习算法-CD(Contrastive Divergence)，其基本思想如下图所示：
首先根据数据v来得到h的状态，然后通过h来重构(Reconstruct)可见向量v，然后再根据v1来生成新的隐藏向量h。因为RBM的特殊结构(层内无连接，层间有连接)， 所以在给定v时，各个隐藏单元h的激活状态之间是相互独立的，反之，在给定h时，各个可见单元的激活状态v也是相互独立的，亦即：
(式子-9)
重构的可见向量v和隐藏向量h就是对P(v,h)的一次抽样，多次抽样得到的样本集合可以看做是对P(v,h)的一种近似，使得式子-7的计算变得可行。
RBM的权重的学习算法：
- 取一个样本数据，把可见变量的状态设置为这个样本数据。随机初始化W。
- 根据式子-9的第一个公式来更新隐藏变量的状态，亦即h以P(h=1|v)的概率设置为状态1，否则为0。然后对于每个边vh，计算P(vh)=v*h(注意，v和h的状态都是取{0,1})。
- 根据h的状态和式子-9的第二个公式来重构v，并且根据v1和式子-9的第一个公式来求得h，计算P(vh)=v*h。
- 更新边vh的权重W为W=W+L*(P(vh)=P(vh))。
- 取下一个数据样本，重复1-4的步骤。
- 以上过程迭代K次。
参考文献：
1. R. Salakhutdinov. Deep Learning Tutorial.
2. 张春霞, 姬楠楠, 王冠伟. 受限玻尔兹曼机简介.
3. Wikipedia: Restricted Boltzmann Machine
4. Edwin Chen： Introduction to Retricted Boltzmann Machine