小兔的棋盘

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Problem Description

小兔的叔叔从外面旅游回来给她带来了一个礼物，小兔高兴地跑回自己的房间，拆开一看是一个棋盘，小兔有所失望。不过没过几天发现了棋盘的好玩之处。从起点(0，0)走到终点(n,n)的最短路径数是C(2n,n),现在小兔又想如果不穿越对角线(但可接触对角线上的格点)，这样的路径数有多少?小兔想了很长时间都没想出来，现在想请你帮助小兔解决这个问题，对于你来说应该不难吧!

Input

每次输入一个数n(1<=n<=35)，当n等于－1时结束输入。

Output

对于每个输入数据输出路径数，具体格式看Sample。

Sample Input

Sample Output

1 1 2
2 3 10
3 12 416024

Author

Rabbit

题意：如上

方法：有没有发现这道题目和卡特兰数有很多相似之处呢？没错，只是单一的卡特兰数计算的结果是棋盘对角线一侧的路线个数，要想计算所有的路线，乘以2就可以了。

恩！卡特兰数是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

void catalan() //求卡特兰数
{
    int i, j, len, carry, temp;
    a[1][0] = b[1] = 1;
    len = 1;
    for(i = 2; i <= 100; i++)
    {
        for(j = 0; j < len; j++) //乘法
            a[i][j] = a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);
        carry = 0;
        for(j = 0; j < len; j++) //处理相乘结果
        {
            temp = a[i][j] + carry;
            a[i][j] = temp % 10;
            carry = temp / 10;
        }
        while(carry) //进位处理
        {
            a[i][len++] = carry % 10;
            carry /= 10;
        }
        carry = 0;
        for(j = len-1; j >= 0; j--) //除法
        {
            temp = carry*10 + a[i][j];
            a[i][j] = temp/(i+1);
            carry = temp%(i+1);
        }
        while(!a[i][len-1]) //高位零处理
            len --;
        b[i] = len;
    }
}

#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
long long int a[40]= {1,1};
void solve()
{
    for(int n=2; n<37; n++)
        for(int i=0,j=n-1; i<n; i++,j--)
            a[n]+=a[i]*a[j];
}
int main()
{
    int n;
    solve();
    for(int i=1; cin>>n; i++)
    {
        if(n==-1)break;
        printf("%d %d %lld\n",i,n,a[n]*2);
    }
    return 0;
}

小兔

HDU 2067：小兔的棋盘

小兔的棋盘