邪教喜欢在各种各样空间内跳。
现在,邪教来到了一个二维平面。在这个平面内,如果邪教当前跳到了(x,y),那么他下一步可以选择跳到以下4个点:(x-1,y), (x+1,y), (x,y-1), (x,y+1)。
而每当邪教到达一个点,他需要耗费一些体力,假设到达(x,y)需要耗费的体力用C(x,y)表示。
对于C(x,y),有以下几个性质:
1、若x=0或者y=0,则C(x,y)=1。
2、若x>0且y>0,则C(x,y)=C(x,y-1)+C(x-1,y)。
3、若x<0且y<0,则C(x,y)=无穷大。
现在,邪教想知道从(0,0)出发到(N,M),最少花费多少体力(到达(0,0)点花费的体力也需要被算入)。
由于答案可能很大,只需要输出答案对10^9+7取模的结果。
读入两个整数N,M,表示邪教想到达的点。
输出仅一个整数,表示邪教需要花费的最小体力对10^9+7取模的结果。
1 2
6
对于10%的数据,满足N, M<=20;
对于30%的数据,满足N, M<=100;
对于60%的数据,满足min(N,M)<=100;
对于100%的数据,满足0<=N, M<=10^12,N*M<=10^12。
数学问题 组合数 lucas定理
看到那个C的表达式就觉得和组合数有关系,于是欢快地打了个小表,发现——和组合数没多大关系
以左上角为顶点,每个位置的值以杨辉三角形式增加。根据这一性质可以想出一个贪心方法:只走直线,先贴着边走到目标点所在的行/列,然后直走过去。
于是ans=max(n,m)+ Σ C(n+m,d) (1<=d<=min(n,m)) ← C是组合数
题解说后面那个ΣC 就等于C(n+m+1,min(n,m))
看到别的题解写了lucas定理,自己想了想觉得可以暴力推过去。N*M<=10^12,根据C(n,m)=c(n,n-m)的性质可知公式求组合数最多循环10^6次,可以接受。
确实可以推过去,然而WA了几个点,原因是这样算,乘数爆longlong了。
又加了个快速乘就过了。
下附lucas定理写法:
/*by SilverN*/
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1e9+;
LL ksmul(LL a,LL b){
a%=mod;b%=mod;LL res=;
while(b){
if(b&){res+=a;if(res>mod)res-=mod;}
a=(a<<)%mod;
b>>=;
}
return res;
}
LL ksm(LL a,LL k){
LL res=;
while(k){
if(k&)res=ksmul(res,a);
a=ksmul(a,a);
k>>=;
}
return res;
}
LL solve(LL n,LL m){
m=max(m,n-m);
LL res=,inv=;
for(LL i=m+;i<=n;i++){
res=ksmul(res,i);
inv=ksmul(inv,i-m);
// printf("res:%lld inv:%lld\n",res,inv);
}
inv=ksm(inv,mod-)%mod;
res=ksmul(res,inv);
return res;
}
LL n,m,ans=;
int main(){
int i,j;
scanf("%lld%lld",&n,&m);
if(n<m)swap(n,m);
ans+=n%mod;
(ans+=solve(n+m+,m))%=mod;
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
lucas还是快一点
/*by SilverN*/
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
#define LL long long
using namespace std;
const int mod=1e9+;
LL ksm(LL a,LL k){
LL res=;
while(k){
if(k&)res=(res*a)%mod;
a=(a*a)%mod;
k>>=;
}
return res;
}
LL clc(LL n,LL m){
if(n<m)return ;
m=min(m,n-m);
LL res=,inv=;
for(LL i=;i<=m;i++){
res=res*(n-i+)%mod;
inv=inv*i%mod;
}
res=res*(ksm(inv,mod-))%mod;
return res;
}
LL lucas(LL a,LL b){
if(!b)return ;
return clc(a%mod,b%mod)*(lucas(a/mod,b/mod)%mod)%mod;
}
LL n,m,ans=;
int main(){
int i,j;
scanf("%lld%lld",&n,&m);
if(n<m)swap(n,m);
ans+=n%mod;
(ans+=lucas(n+m+,m))%=mod;
printf("%lld\n",ans);
return ;
}
lucas