UVA11077 Find the Permutations —— 置换、第一类斯特林数

题目链接：https://vjudge.net/problem/UVA-11077

题意：

问n的全排列中多有少个至少需要交换k次才能变成{1,2,3……n}。

题解：

1.根据过程的互逆性，可直接求{1,2,3……n}至少需要交换多少次才能变成{a1，a2，a3……an}，因此可直接把{a1，a2，a3……an}看成是{1,2,3……n}的置换。为什么呢？

答：1 2 3

　　2 3 1  可知把“2 3 1”看作是经过置换后的序列，则：2-->1(2放到1）、3-->2(3放到2)、1-->3(1放到3)。

　　　　　　   把“2 3 1”看作是置换，                        则：1-->2(1放到2）、2-->3(2放到3)、3-->1(3放到1)。

所以把序列看成是置换的话，那么它与变成自己的置换的形状完全相同，只是所有箭头的方向都发生了改变。

2.将一个置换分解成若干个循环，对于一个长度为len的循环，需要交换len-1次才能使得里面的每一个元素回到自己的位置（每一次交换都能使得一个元素回到原来的位置，一直交换到最后一个，就直接在自己的位置上。所以位len-1）。

3.根据第二点，即有多少个循环，就能减少多少次交换。而交换了k次，即减少了n-k交换，因此也就有n-k个循环。把n个有区别的元素排列成n-k个循环（圈），即为第一类斯特林数。

代码如下：

 #include <iostream>

 #include <cstdio>

 #include <cstring>

 #include <algorithm>

 #include <vector>

 #include <cmath>

 #include <queue>

 #include <stack>

 #include <map>

 #include <string>

 #include <set>

 using namespace std;

 typedef long long LL;

 const int INF = 2e9;

 const LL LNF = 9e18;

 const int MOD = 1e9+;

 const int MAXN = ;

 unsigned long long dp[MAXN][MAXN];

 void init()

 {

     memset(dp, , sizeof(dp));

     for(int i = ; i<=; i++)  //第一类斯特林数

     {

         dp[i][] = ; dp[i][i] = ;

         for(int j = ; j<i; j++)

             dp[i][j] = 1LL*dp[i-][j-] + 1LL*(i-)*dp[i-][j];

     }

 }

 int main()

 {

     init();

     int n, k;

     while(scanf("%d%d", &n, &k)&&(n||k))

         printf("%llu\n", dp[n][n-k]);

 }