中国剩余定理，又名孙子定理o(*≧▽≦)ツ
能求解什么问题呢？
问题：
一堆物品
3个3个分剩2个
5个5个分剩3个
7个7个分剩2个
问这个物品有多少个
解这题，我们需要构造一个答案
我们需要构造这个答案
5*7*inv(5*7, 3) % 3 = 1
3*7*inv(3*7, 5) % 5 = 1
3*5*inv(3*5, 7) % 7 = 1
这3个式子对不对，别告诉我逆元你忘了(*´∇｀*)，忘了的人请翻阅前几章复习
然后两边同乘你需要的数
2 * 5*7*inv(5*7, 3) % 3 = 2
3 * 3*7*inv(3*7, 5) % 5 = 3
2 * 3*5*inv(3*5, 7) % 7 = 2
令
a = 2 * 5*7*inv(5*7, 3)
b = 3 * 3*7*inv(3*7, 5)
c = 2 * 3*5*inv(3*5, 7)
那么
a % 3 = 2
b % 5 = 3
c % 7 = 2
其实答案就是a+b+c
因为
a%5 = a%7 = 0 因为a是5的倍数，也是7的倍数
b%3 = b%7 = 0 因为b是3的倍数，也是7的倍数
c%3 = c%5 = 0 因为c是3的倍数，也是5的倍数
所以
(a + b + c) % 3 = (a % 3) + (b % 3) + (c % 3) = 2 + 0 + 0 = 2
(a + b + c) % 5 = (a % 5) + (b % 5) + (c % 5) = 0 + 3 + 0 = 3
(a + b + c) % 7 = (a % 7) + (b % 7) + (c % 7) = 0 + 0 + 2 = 2
你看你看，答案是不是a+b+c(｡･ω･)ﾉﾞ，完全满足题意
但是答案，不只一个，有无穷个，每105个就是一个答案（105 = 3 * 5 * 7）
根据计算，答案等于233,233%105 = 23
如果题目问你最小的那个答案，那就是23了
以下抄自百度百科
有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
是整数m1,m2, ... ,mn的乘积，并设
是除了mi以外的n- 1个整数的乘积。
这个就是逆元了
在模M的意义下，方程组(S)只有一个解：
//n个方程：x=a[i](mod m[i]) (0<=i<n)
LL china(int n, LL *a, LL *m){
LL M = , ret = ;
for(int i = ; i < n; i ++) M *= m[i];
for(int i = ; i < n; i ++){
LL w = M / m[i];
ret = (ret + w * inv(w, m[i]) * a[i]) % M;
}
return (ret + M) % M;
}
要不要来一道题试试手？
poj 1006
http://poj.org/problem?id=1006
问题描述：
人自出生起就有体力，情感和智力三个生理周期，分别为23，28和33天。一个周期内有一天为峰值，在这一天，人在对应的方面（体力，情感或智力）表现最好。通常这三个周期的峰值不会是同一天。现在给出三个日期，分别对应于体力，情感，智力出现峰值的日期。然后再给出一个起始日期，要求从这一天开始，算出最少再过多少天后三个峰值同时出现。
分析：
因为23 = 23
28 = 2*2*7
33 = 3*11
满足两两互质关系，所以直接套模板就好了
AC代码：
#include<cstdio>
typedef long long LL;
const int N = + ;
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
if (!b) {d = a, x = , y = ;}
else{
ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
y -= x * (a / b);
}
}
LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1
LL d, x, y;
ex_gcd(t, p, x, y, d);
return d == ? (x % p + p) % p : -;
}
LL china(int n, LL *a, LL *m){//中国剩余定理
LL M = , ret = ;
for(int i = ; i < n; i ++) M *= m[i];
for(int i = ; i < n; i ++){
LL w = M / m[i];
ret = (ret + w * inv(w, m[i]) * a[i]) % M;
}
return (ret + M) % M;
}
int main(){
LL p[], r[], d, ans, MOD = ;
int cas = ;
p[] = ; p[] = ; p[] = ;
while(~scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d", &r[], &r[], &r[], &d) && (~r[] || ~r[] || ~r[] || ~d)){
ans = ((china(, r, p) - d) % MOD + MOD) % MOD;
printf("Case %d: the next triple peak occurs in %I64d days.\n", ++cas, ans ? ans : );
} }
当然，这个中国剩余定理只是基础，面对更强大的敌人，我们要有更强的武器
比如，m1,m2, ... ,mn两两不保证互质，辣怎么办(っ °Д °)っ
别怕，看我接着抛代码
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PLL;
PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n) {//求解A[i]x = B[i] (mod M[i]),总共n个线性方程组
LL x = , m = ;
for(int i = ; i < n; i ++) {
LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = gcd(M[i], a);
if(b % d != ) return PLL(, -);//答案不存在，返回-1
LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d);
x = x + m*t;
m *= M[i]/d;
}
x = (x % m + m ) % m;
return PLL(x, m);//返回的x就是答案，m是最后的lcm值
}
这个代码我不给予解释（因为我不会，哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯）
遇到需要的题就去套模板吧
（想知道代码原理的去百度吧，或者看《挑战程序设计竞赛》，我模板是从书里抄来经过杰哥修改的）
比如poj 2891
http://poj.org/problem?id=2891
【题目大意】
给出k个模方程组：x mod ai = ri。求x的最小正值。如果不存在这样的x，那么输出-1.
【题目分析】
由于这道题目里面的ai、ri之间不满足两两互质的性质，所以不能用中国剩余定理直接求解。
辣么。。。。愉快的套这个模板吧
AC代码如下:
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<LL, LL> PLL;
LL a[], b[], m[];
LL gcd(LL a, LL b){
return b ? gcd(b, a%b) : a;
}
void ex_gcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y, LL &d){
if (!b) {d = a, x = , y = ;}
else{
ex_gcd(b, a % b, y, x, d);
y -= x * (a / b);
}
}
LL inv(LL t, LL p){//如果不存在，返回-1
LL d, x, y;
ex_gcd(t, p, x, y, d);
return d == ? (x % p + p) % p : -;
}
PLL linear(LL A[], LL B[], LL M[], int n) {//求解A[i]x = B[i] (mod M[i]),总共n个线性方程组
LL x = , m = ;
for(int i = ; i < n; i ++) {
LL a = A[i] * m, b = B[i] - A[i]*x, d = gcd(M[i], a);
if(b % d != ) return PLL(, -);//答案，不存在，返回-1
LL t = b/d * inv(a/d, M[i]/d)%(M[i]/d);
x = x + m*t;
m *= M[i]/d;
}
x = (x % m + m ) % m;
return PLL(x, m);//返回的x就是答案，m是最后的lcm值
}
int main(){
int n;
while(scanf("%d", &n) != EOF){
for(int i = ; i < n; i ++){
a[i] = ;
scanf("%d%d", &m[i], &b[i]);
}
PLL ans = linear(a, b, m, n);
if(ans.second == -) printf("-1\n");
else printf("%I64d\n", ans.first);
}
}
你看，全TM是套路
哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯
哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯
哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯
哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯
哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯
哇哈哈哈╰(*°▽°*)╯