bzoj2441【中山市选】小W的问题

题目描述

有一天，小W找了一个笛卡尔坐标系，并在上面选取了N个整点。他发现通过这些整点能够画出很多个“W”出来。具体来说，对于五个不同的点(x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), (x4, y4), (x5, y5)，如果满足：

·x1 < x2 < x3 < x4 < x5

·y1 > y3 > y2

·y5 > y3 > y4

则称它们构成一个“W”形。

现在，小W想统计“W”形的个数，也就是满足上面条件的五元点组个数。你能帮助他吗？

---

输入格式

    第一行包含一个整数N，表示点的个数。

下面N行每行两个整数，第i+1行为(xi, yi)，表示第i个点的坐标。

---

输出格式

仅包含一行，为“W”形个数模1 000 000 007的值。

---

• 题解

• 题目中的"W"是左右对称的，并且由于左右两边都x轴严格所以互不影响
• 那么对每个三号点统计出左"V"和右"V"相乘即可得到答案；
• 下面的诉述均在三号点确定的情况下；
• 考虑统计左"V"，即满足条件①的对数：
• $①：x_{1} < x_{2} < x_{3}，y_{2} < y_{3} < y_{1}$
• 采用容斥，首先按x坐标做扫描线，可以用两个树状数组统计出条件②：
• $②：x_{1} < x_{2} < x_{3}，y_{1} > y_{2}且y_{2} < y_{3}$
• ②包含①，和①对比需要再统计条件③：
• $③：x_{1} < x_{2} < x_{3}，y_{2} < y_{1} <= y_{3}$
• 统计在$x_{3}$严格左边，不严格的下边的点数$num$，$C_{num}^{2}$ 可表示条件④：
  $④：x_{1} <= x_{2} < x_{3}，y_{1},y_{2}<= y_{3}$
• 用一个树状数组去掉$x$轴的等号进一步统计⑤:
• $⑤：x_{1} < x_{2} < x_{3}，y_{1},y_{2} <= y_{3}$
• 同理用两个树状数组统计⑥：
• $⑥：x_{1} < x_{2} < x_{3}，y_{1} <= y_{2} <= y_{3}$
• 用⑥减去⑤得到③，用②减去③得到①；
• 写得比较复杂，建议画图思考，想清楚再写代码不然很容易重构TAT.........

•  #include<bits/stdc++.h>
  
   #define ll long long
  
   using namespace std;
  
   const int N=,mod=1e9+;
  
   int n,sub[N],tot,t1[N],t2[N],t3[N],t[N],L[N],R[N];
  
   ll c1[N],c2[N],c3[N];
  
   struct P{
  
       int x,y,id;
  
       P(int _x=,int _y=):x(_x),y(_y){};
  
   }p[N];
  
   bool cmp1(const P&a,const P&b){return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x<b.x;}
  
   bool cmp2(const P&a,const P&b){return a.x==b.x?a.y<b.y:a.x>b.x;}
  
   char gc(){
  
       static char*p1,*p2,s[];
  
       if(p1==p2)p2=(p1=s)+fread(s,,,stdin);
  
       return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  
   }
  
   int rd(){
  
       int x=; char c=gc();
  
       while(c<''||c>'')c=gc();
  
       while(c>=''&&c<='')x=x*+c-'',c=gc();
  
       return x;
  
   }
  
   void init(){memset(c1,,sizeof(c1));memset(c2,,sizeof(c2));memset(c3,,sizeof(c3));}
  
   void add1(int x,int y){for(;x<=tot;x+=x&-x)c1[x]+=y;}
  
   int que1(int x){ll re=;for(;x;x-=x&-x)re+=c1[x];return re%mod;}
  
   void add2(int x,int y){for(;x<=tot;x+=x&-x)c2[x]+=y;}
  
   int que2(int x){ll re=;for(;x;x-=x&-x)re+=c2[x];return re%mod;}
  
   void add3(int x,int y){for(;x<=tot;x+=x&-x)c3[x]+=y;}
  
   int que3(int x){ll re=;for(;x;x-=x&-x)re+=c3[x];return re%mod;}
  
   void upd(int&x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
  
   void solve(){
  
       for(int i=,j=;i<=n;i=j){
  
           for(j=i;j<=n&&p[j].x==p[i].x;++j){
  
               t1[j]=que1(p[j].y);
  
               t2[j]=i--t1[j];
  
               t3[j]=j-i;
  
               t[j]=mod-1ll*t1[j]*(t1[j]-)/%mod;
  
               if(t[j]==mod)t[j]=;
  
           }
  
           for(int k=i;k<j;++k)add1(p[k].y,);
  
       }
  
       memset(c1,,sizeof(c1));
  
       for(int i=,j=;i<=n;i=j){
  
           for(j=i;j<=n&&p[j].x==p[i].x;++j){
  
               upd(t[j],que1(p[j].y));
  
               upd(t[j],que2(p[j].y-));
  
               upd(t[j],que3(p[j].y));
  
           }
  
           for(int k=i;k<j;++k){
  
               add1(p[k].y,t1[k]);
  
               add2(p[k].y,t2[k]);
  
               add3(p[k].y,t3[k]);
  
           }
  
       }
  
   }
  
   int main(){
  
       #ifndef ONLINE_JUDGE
  
       freopen("bzoj2441.in","r",stdin);
  
       freopen("bzoj2441.out","w",stdout);
  
       #endif
  
       n=rd();for(int i=;i<=n;++i)p[i].x=rd(),p[i].y=sub[++tot]=rd(),p[i].id=i;
  
       sort(sub+,sub+tot+);
  
       tot=unique(sub+,sub+tot+)-sub-;
  
       for(int i=;i<=n;++i)p[i].y=lower_bound(sub+,sub+tot+,p[i].y)-sub;
  
       sort(p+,p+n+,cmp1);
  
       solve();
  
       for(int i=;i<=n;++i)L[p[i].id]=t[i];
  
       for(int i=;i<=n>>;++i)swap(p[i],p[n-i+]);
  
       init();
  
       sort(p+,p+n+,cmp2);
  
       solve();
  
       for(int i=;i<=n;++i)R[p[i].id]=t[i];
  
       ll ans=;for(int i=;i<=n;++i)ans=(ans+1ll*L[i]*R[i]%mod)%mod;
  
   //    for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d %d\n",L[i],R[i]);
  
       cout<<ans<<endl;
  
       return ;
  
   }

  bzoj2441