德国数学家David Hilbert在1891年构造了一种曲线，首先把一个正方形等分成四个小正方形，依次从西北角的正方形中心出发往南到西南正方形中心，再往东到东南角的正方形中心，再往北到东北角正方形中心，这是一次迭代；如果对四个小正方形继续上述过程，往下划分，反复进行，最终就得到一条可以填满整个正方形的曲线，这就是Hibert曲线。其生成过程如图1所示。
图1 Hilbert曲线的生成
Hilbert曲线可以采用递归过程实现，在递归处理时，连接中点的方式有4种，如图2所示。
图2 连接中心点的4种方式
设正方形左上角的顶点坐标为（x1,y1），右下角顶点坐标为（x2,y2）。若将方式（3）的正方形左上角坐标置为（x2,y2），右下角坐标置为（x1,y1），则方式（3）等同于方式（1），相当于旋转180°；同理，方式（4）等同于方式（2）。因此，4种连接中心点的方式可以看成（1）和（2）两种。
两种连线方式的连线走向及下一次扩展的方式如图3所示。
图3 两种连线方式走向及扩展
其中，方式（1）的四个中心点坐标分别为：
①（x1+dx/4,y1+dy/4） ②（x1+dx/4, y1+3*dy/4）
③ （x1+3*dx/4, y1+3*dy/4） ④（x1+3*dx/4,y1+dy/4） （dx=x2-1,dy=y2-y1）
方式（2）的四个中心点坐标分别为：
①（x1+dx/4,y1+dy/4） ②（x1+3*dx/4,y1+dy/4）
③ （x1+3*dx/4, y1+3*dy/4） ④（x1+dx/4, y1+3*dy/4）
为此，引入一个标识变量s，s=1表示方式（1），s=-1表示方式（2），这样两种方式的中心点坐标可以统一表示为：
①（x1+dx/4,y1+dy/4） ②（x1+(2-s)*dx/4, y1+(2+s)*dy/4）
③（x1+3*dx/4, y1+3*dy/4） ④（x1+(2+s)*dx/4,y1+(2-s)*dy/4）
递归扩展时，方式（1）中4个小正方形的扩展方式分别是：方式（2）、方式（1）、方式（1）和方式（4）（注意：给定两个顶点坐标顺序调整后等同于方式（2））；方式（2）中4个小正方形的扩展方式分别是：方式（1）、方式（2）、方式（2）和方式（3）。
编写如下的HTML代码。
<!DOCTYPE html>
<head>
<title>Hilbert曲线</title>
</head>
<body>
<canvas id="myCanvas" width="500" height="500" style="border:3px double #996633;">
</canvas>
<script type="text/javascript">
var canvas = document.getElementById('myCanvas');
var ctx = canvas.getContext('2d');
var depth=5;
ctx.lineWidth = 2;
ctx.strokeStyle = "red";
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(50+400/Math.pow(2,depth+1),50+400/Math.pow(2,depth+1));
drawShapes(depth,1,50,50,450,450);
ctx.stroke();
function drawShapes(n,s,x1,y1,x2,y2)
{
dx = x2 - x1,
dy = y2 - y1;
if (n>1)
{
if(s>0)
{
drawShapes(n-1,-1,x1,y1,(x1+x2)/2,(y1+y2)/2);
drawShapes(n-1,1,x1,(y1+y2)/2,(x1+x2)/2,y2);
drawShapes(n-1,1,(x1+x2)/2,(y1+y2)/2,x2,y2);
drawShapes(n-1,-1,x2,(y1+y2)/2,(x1+x2)/2,y1);
}
else
{
drawShapes(n-1,1,x1,y1,(x1+x2)/2,(y1+y2)/2);
drawShapes(n-1,-1,(x1+x2)/2,y1,x2,(y1+y2)/2);
drawShapes(n-1,-1,(x1+x2)/2,(y1+y2)/2,x2,y2);
drawShapes(n-1,1,(x1+x2)/2,y2,x1,(y1+y2)/2);
}
}
if (n==1)
{
ctx.lineTo(x1+dx/4,y1+dy/4);
ctx.lineTo(x1+(2-s)*dx/4, y1+(2+s)*dy/4);
ctx.lineTo(x1+3*dx/4, y1+3*dy/4);
ctx.lineTo(x1+(2+s)*dx/4,y1+(2-s)*dy/4);
}
}
</script>
</body>
</html>
在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出如图4所示的Hilbert曲线。
图4 递归深度maxdepth =5的Hilbert曲线
上面的程序需要推出方式（一）和方式（二）的坐标统一形式，还需注意方式（3）和方式（4）与方式（一）和方式（二）的同一性。
由于Hilbert曲线可以看成是4种方式进行组合，因此可以直接对4种方式编写递归过程。编写如下的HTML文件。
<!DOCTYPE html>
<head>
<title>Hilbert曲线</title>
</head>
<body>
<canvas id="myCanvas" width="500" height="500" style="border:3px double #996633;">
</canvas>
<script type="text/javascript">
var canvas = document.getElementById('myCanvas');
var ctx = canvas.getContext('2d');
ctx.lineWidth = 2;
ctx.strokeStyle = "red";
ctx.beginPath();
var depth=5; // 递归深度
var h=400/Math.pow(2,depth);
var x = 50+h;
var y = 50+h;
ctx.moveTo(x,y);
One(depth);
ctx.stroke();
function One(n) // 方式（1）的递归调用
{
if(n > 0)
{
Two(n-1);
ctx.lineTo(x, y+h); y+=h;
One(n-1);
ctx.lineTo(x+h, y); x+=h;
One(n-1);
ctx.lineTo(x, y-h); y-=h;
Four(n-1);
}
}
function Two(n) // 方式（2）的递归调用
{
if(n > 0)
{
One(n-1);
ctx.lineTo(x+h, y); x+=h;
Two(n-1);
ctx.lineTo(x, y+h); y+=h;
Two(n-1);
ctx.lineTo(x-h, y); x-=h;
Three(n-1);
}
}
function Three(n) // 方式（3）的递归调用
{
if(n > 0)
{
Four(n-1);
ctx.lineTo(x, y-h); y-=h;
Three(n-1);
ctx.lineTo(x-h, y); x-=h;
Three(n-1);
ctx.lineTo(x, y+h); y+=h;
Two(n-1);
}
}
function Four(n) // 方式（4）的递归调用
{
if(n > 0)
{
Three(n-1);
ctx.lineTo(x-h,y); x-=h;
Four(n-1);
ctx.lineTo(x, y-h); y-=h;
Four(n-1);
ctx.lineTo(x+h, y); x+=h;
One(n-1);
}
}
</script>
</body>
</html>
在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中绘制出如图5所示的Hilbert曲线。
图5 调用One(depth)时绘制的图形
将程序中的调用语句“One(depth)”改写成“Two(depth)”，则在浏览器窗口中绘制出如图6所示的Hilbert曲线。这个图形可以看成是图5向左旋转90°得到的。实际上，由图2可知，将方式（一）的图形向左旋转90°得到的就是方式（二）的图形。
图6 调用Two(depth)时绘制的图形
将程序中调用语句“One(depth)”改写成“Three(depth)”，同时修改初始坐标为
“var x = 450-h; var y = 450-h;”，则在浏览器窗口中绘制出如图7所示的Hilbert曲线。
图7 调用THree(depth)时绘制的图形
将程序中调用语句“One(depth)”改写成“Four(depth);”，同时修改初始坐标为
“var x = 450-h; var y = 450-h;”，则在浏览器窗口中绘制出如图8所示的Hilbert曲线。
图8 调用Four(depth)时绘制的图形
将Hilbert曲线的生成过程进行动画展示，编写如下的HTML代码。
<!DOCTYPE>
<html>
<head>
<title>Hilbert曲线</title>
</head>
<body>
<canvas id="myCanvas" width="500" height="500" style="border:3px double #996633;"></canvas>
<script type="text/javascript">
var canvas = document.getElementById('myCanvas');
var ctx = canvas.getContext('2d');
var depth=1;
function drawShapes(n,s,x1,y1,x2,y2)
{
dx = x2 - x1,
dy = y2 - y1;
if (n>1)
{
if(s>0)
{
drawShapes(n-1,-1,x1,y1,(x1+x2)/2,(y1+y2)/2);
drawShapes(n-1,1,x1,(y1+y2)/2,(x1+x2)/2,y2);
drawShapes(n-1,1,(x1+x2)/2,(y1+y2)/2,x2,y2);
drawShapes(n-1,-1,x2,(y1+y2)/2,(x1+x2)/2,y1);
}
else
{
drawShapes(n-1,1,x1,y1,(x1+x2)/2,(y1+y2)/2);
drawShapes(n-1,-1,(x1+x2)/2,y1,x2,(y1+y2)/2);
drawShapes(n-1,-1,(x1+x2)/2,(y1+y2)/2,x2,y2);
drawShapes(n-1,1,(x1+x2)/2,y2,x1,(y1+y2)/2);
}
}
if (n==1)
{
ctx.lineTo(x1+dx/4,y1+dy/4);
ctx.lineTo(x1+(2-s)*dx/4, y1+(2+s)*dy/4);
ctx.lineTo(x1+3*dx/4, y1+3*dy/4);
ctx.lineTo(x1+(2+s)*dx/4,y1+(2-s)*dy/4);
}
}
function go()
{
ctx.clearRect(0,0,canvas.width,canvas.height);
ctx.lineWidth = 2;
ctx.strokeStyle = "red";
ctx.beginPath();
ctx.moveTo(50+400/Math.pow(2,depth+1),50+400/Math.pow(2,depth+1));
drawShapes(depth,1,50,50,450,450);
ctx.stroke();
depth++;
if (depth>6)
{
depth=1;
}
}
window.setInterval('go()', 1000);
</script>
</body>
</html>
在浏览器中打开包含这段HTML代码的html文件，可以看到在浏览器窗口中呈现出如图9所示的Hilbert曲线动态生成效果。
图9 Hilbert曲线动态生成