洛谷 P2568 GCD（莫比乌斯反演）

题意：$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)\epsilon prime]$。

对于这类题一般就是枚举gcd，可得：

=$\sum_{d\epsilon prime}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]$

=$\sum_{d\epsilon prime}\sum_{i=1}^{{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}}\mu(i){\lfloor \frac{n}{id}\rfloor}{\lfloor \frac{n}{id}\rfloor}$

预处理素数，莫比乌斯前缀和，后面部分整除分块。

#include <bits/stdc++.h>

#define ll long long

using namespace std;

const int N=1e7+;

bool p[N];

int pri[N],mu[N],tot;

void init() {

    mu[]=;

    for(int i=;i<N;i++) {

        if(!p[i]) pri[tot++]=i,mu[i]=-;

        for(int j=;j<tot&&i*pri[j]<N;j++) {

            p[i*pri[j]]=true;

            if(i%pri[j]==) {

                mu[i*pri[j]]=;

                break;

            }

            else mu[i*pri[j]]=-mu[i];

        }

    }

    for(int i=;i<N;i++) mu[i]+=mu[i-];

}

ll cal(int n) {

    ll ans=;

    for(int l=,r;l<=n;l=r+) {

        r=n/(n/l);

        ans+=1LL*(mu[r]-mu[l-])*(n/l)*(n/l);

    }

    return ans;

}

int main() {

    init();

    int n;

    scanf("%d",&n);

    ll ans=;

    for(int i=;i<tot&&pri[i]<=n;i++) {

        ans+=cal(n/pri[i]);

    }

    printf("%lld\n",ans);

    return ;

}