样条函数（spline function）—— 分段多项式函数（piecewise polynomial function）

1. 分段多项式函数

最简单的样条函数是一种分段多项式函数（piecewise polynomial function），样条函数 S:[a,b]→R。

S 是在定义域 [a,b] 上分段定义的，我们将 [a,b] 划分为 k 个子区间。

[ti,ti+1] , i=0,…,k−1[a,b]=[t0,t1]∪[t1,t2]∪⋯∪[tk−2,tk−1]∪[tk−1,tk]a=t0≤t1≤⋯≤tk−1≤tk=b

每一段区间上，定义如下的多项式函数：

Pi:[ti,ti+1]→R

最终该样条函数可被分解为如下的形式：

S(t)=P0(t) , t0≤t<t1,S(t)=P1(t) , t1≤t<t2,⋮S(t)=Pk−1(t) , tk−1≤t≤tk

k+1 个点 ti 称为 knots（结），t⃗ =(t0,…,tk) 称为 knot vector。