到目前为止,平衡树应该是我学过的数据结构里面最难的一个了。(顺便贴上一个我认为treap讲解的比较好的博客https://blog.csdn.net/u014634338/article/details/49612159)
此篇博客只会讲解treap平衡树中较为关键的操作。
前情提要
siz:这里的含义是节点u以下含u有多少数的个数
son[][]:第一维表示当前点,第二维记录当前点的左孩子和右孩子
cnt:储存在节点u中,相同元素的数的个数
key:数据给定的值
ran:随机值(主要用于堆操作)
插入
void insert(int &k,int x)
{
if (k==)
{
k=++num;
cnt[k]=;
key[k]=x;
ran[k]=rand();
siz[k]=;
return;
}
else if (key[k]==x)
{
cnt[k]++;
siz[k]++;
return;
}
int op=(x>key[k]);
insert(son[k][op],x);
if (ran[son[k][op]]<ran[k]) rotate(k,!op);
pushup(k);
}
插入操作一开始先在树里面递归找有没有相同的点,如果有,直接相同元素的个数+1;如果没有,再到叶子节点里面加上去,但是如果直接这么加了的话,树很容易会退化成链,于是这时候要借鉴堆的性质了。堆的形状十分“平衡”,相对于一颗什么都没优化过的树。由于我们都给了结点一个随机值,所以我们按照这个随机值来进行堆操作(大根堆小根堆都行),但是问题来了,堆和平衡树的性质不会有冲突吗?有冲突确实。以小根堆为例,一个左右都比根大,另一个左小右大,那怎么能够把两者的性质结合在一起呢?
(以下图解由开头推荐博客里面引用,侵删)
先来看看图解:
插入值为18,优先级为20的结点后,违反了最小堆的定义,因此要进行调整,把优先级小的往上提,也就是小的优先级插入的是右子树,那么需要进行左旋转,这里进行一次旋转过后就OK了。
同样,这种情况左旋转,旋转后发现还是不满足最小堆的定义,并且小优先级的结点在左子树,所以还需要进行右旋转,如下图所示:
右旋后,很遗憾还是不行,还需要左旋:
OK,终于完成,插入一个数据,也许要进行多次旋转,不过也仅仅是左旋或者右旋而已。
我们由此看到当我们要把两者精华揉在一起时,关键的关键,即是旋转操作,既能维护堆,又能维护平衡树。但是一开始,笔者想到一个问题,仅仅用rand函数随机出来一个值来做为维护堆的依据,是不是有点太草率了,难道不会因为种种原因,而导致随机出来的值特别的奇怪?运行时间不就有不确定性?
以洛谷模板题3369为例,可见每次运行时间只在320ms左右,还算是可以接受的。
删除
分3种情况:
1 不存在这个数,结束
2 存在这个数,而且不止一个,直接递归寻找,然后cnt数组减1
3 存在这个数,但是只有一个,那么这个时候就很烦人了。需要经过一系列的左旋右旋操作,把此结点扔到叶子节点的位置,然后删掉。那么问题来了,如果这个点同时拥有左孩子和右孩子,什么时候左旋什么时候右旋呢?前面我们有介绍了随机值这个东西来维护堆,我们如果要删去一个结点,就一定要让这棵树始终保持堆的性质,因此我们在考虑左旋还是右旋时,先比较两者的随机值的大小,以小根堆为例,如果左边的随机值比右边的小,那么左孩子就应该与当前要删去的结点换一个位置,即左旋,在把删去的结点扔到更下一层的同时,保证了堆和平衡树的性质。
void _delete(int &k,int x)
{
if (k==) return;
if (x!=key[k])
{
int op=(x>key[k]);
_delete(son[k][op],x);
pushup(k);
return;
}
if (cnt[k]>)
{
cnt[k]--;
siz[k]--;
pushup(k);
return;
}
if (!son[k][]&&son[k][])
{
rotate(k,);
_delete(son[k][],x);
}
else if (son[k][] && !son[k][])
{
rotate(k,);
_delete(son[k][],x);
}
else if (!son[k][] && !son[k][])
{
cnt[k]--;
siz[k]--;
if (cnt[k]==) k=;
}
else
{
int op=(ran[son[k][]]>ran[son[k][]]);
rotate(k,!op);
_delete(son[k][!op],x);
}
pushup(k);
}
旋转
void rotate(int &x,int op)
{
int p=son[x][!op];
son[x][!op]=son[p][op];
son[p][op]=x;
pushup(x);
pushup(p);
x=p;
}
这个大多数博客都有讲,而且把其视为最重要的操作,其实在我看来,我们只要把旋转操作视为交换两个点的位置就行,只不过由于是颗平衡树,交换位置会导致“牵一发而动全身”,才显得比较复杂。这里就不再过多阐述旋转的操作。
总结
平衡树花了我很多时间去学习,可能是由于每个人码风不同,或是我认为的难点大多数博主都一笔带过,学习的过程就有点艰苦......。但是当你完全理解之后,才会体会到平衡树的魅力。
最后附上洛谷模板题的代码(因为我是靠看别人的代码来逐渐弄懂的,所以可能和别人的代码有点雷同)
#include <bits/stdc++.h>
#define maxn 1000010
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int key[maxn],cnt[maxn],ran[maxn],siz[maxn],son[maxn][],op,n,num=,x,root=;
void pushup(int x)
{
siz[x]=siz[son[x][]]+siz[son[x][]]+cnt[x];
}
void rotate(int &x,int op)
{
int p=son[x][!op];
son[x][!op]=son[p][op];
son[p][op]=x;
pushup(x);
pushup(p);
x=p;
}
void insert(int &k,int x)
{
if (k==)
{
k=++num;
cnt[k]=;
key[k]=x;
ran[k]=rand();
siz[k]=;
return;
}
else if (key[k]==x)
{
cnt[k]++;
siz[k]++;
return;
}
int op=(x>key[k]);
insert(son[k][op],x);
if (ran[son[k][op]]<ran[k]) rotate(k,!op);
pushup(k);
}
void _delete(int &k,int x)
{
if (k==) return;
if (x!=key[k])
{
int op=(x>key[k]);
_delete(son[k][op],x);
pushup(k);
return;
}
if (cnt[k]>)
{
cnt[k]--;
siz[k]--;
pushup(k);
return;
}
if (!son[k][]&&son[k][])
{
rotate(k,);
_delete(son[k][],x);
}
else if (son[k][] && !son[k][])
{
rotate(k,);
_delete(son[k][],x);
}
else if (!son[k][] && !son[k][])
{
cnt[k]--;
siz[k]--;
if (cnt[k]==) k=;
}
else
{
int op=(ran[son[k][]]>ran[son[k][]]);
rotate(k,!op);
_delete(son[k][!op],x);
}
pushup(k);
}
int rank(int k,int x)
{
if (k==) return ;
if (key[k]==x) return siz[son[k][]]+;
if (key[k]>x) return rank(son[k][],x);
return siz[son[k][]]+cnt[k]+rank(son[k][],x);
}
int find(int k,int x)
{
if (k==) return ;
if (siz[son[k][]]>=x) return find (son[k][],x);
else if (siz[son[k][]]+cnt[k]<x) return find (son[k][],x-siz[son[k][]]-cnt[k]);
else return key[k];
}
int lowerbound(int k,int x)
{
if (k==) return -inf;
if (key[k]>=x) return lowerbound(son[k][],x);
else return max(key[k],lowerbound(son[k][],x));
}
int upperbound(int k,int x)
{
if (k==) return inf;
if (key[k]<=x) return upperbound(son[k][],x);
else return min(key[k],upperbound(son[k][],x));
}
int main()
{
cin>>n;
while (n--)
{
scanf("%d%d",&op,&x);
switch(op)
{
case :insert(root,x);break;
case :_delete(root,x);break;
case :printf("%d\n",rank(root,x));break;
case :printf("%d\n",find(root,x));break;
case :printf("%d\n",lowerbound(root,x));break;
case :printf("%d\n",upperbound(root,x));break;
}
}
return ;
}
splay
相较于treap来说,splay不需要任何额外的内容,只要保证一个splay和旋转的操作即可,而所谓的splay操作,就是通过旋转把一个点向上转到目标点的操作。
模板:https://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/50636361
懒人版平衡树
其实C++STL基本容器里面有很多好东西,常见的就是vector、set、map等等,这里用到的是vector来实现平衡树功能
代码极短
#include <bits/stdc++.h>
#define debug freopen("r.txt","r",stdin)
#define mp make_pair
#define ri register int
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int maxn = 4e5+;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int mod = ;
inline ll read(){ll s=,w=;char ch=getchar();
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')w=-;ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<='') s=s*+ch-'',ch=getchar();
return s*w;}
ll qpow(ll p,ll q){return (q&?p:)*(q?qpow(p*p%mod,q/):)%mod;}
vector<int>v;
int t,opt,x;
int main()
{
t=read();
while(t--)
{
opt=read(),x=read();
if(opt==) v.insert(lower_bound(v.begin(),v.end(),x),x);
if(opt==) v.erase (lower_bound(v.begin(),v.end(),x));
if(opt==) printf("%d\n",lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+);
if(opt==) printf("%d\n",v[x-]);
if(opt==) printf("%d\n",v[lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()-]);
if(opt==) printf("%d\n",v[upper_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()]);
}
return ;
}
但是可能会被卡数据