poj 3734 Blocks 快速幂+费马小定理+组合数学

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题意：有一排砖，可以染红蓝绿黄四种不同的颜色，要求红和绿两种颜色砖的个数都是偶数，问一共有多少种方案，结果对10007取余。

题解：刚看这道题第一感觉是组合数学，正向推了一会还没等推出来队友就打表找到公式了，然后我就写了一个快速幂加个费马小定理就过了去看别的题了，赛后找到了一个很不错的博客：传送门，原来这道题也可以用DP+矩阵快速幂AC。下面说下组合数学的做法：

首先一共有4^n种情况，我们减去不符合条件的情况就行了，从中取k个进行染红绿色一共C(n,k)种情况，剩下的蓝黄色一共有2^(n-k)种情况，接下来对k的奇偶进行分类讨论。(借用下博客里的公式)

如果k为奇数，红色和绿色的数量为一奇一偶：2 * （c(k, 1) + c(k, 3) + c(k, 5) +……）* c(n, k) * 2^(n - k)   （其中要乘以2，是因为可以分别选择红、绿色为奇数）

如果k为偶数，红色和绿色的数量全部为奇数：（c(k, 1) + c(k, 3) + c(k, 5) +……）* c(n, k) * 2^(n - k) （这里不需要乘以2）

而 c(k, 1) + c(k, 3) + c(k, 5) +…… = 2^（k - 1)

所以，最后的表达式为：

4^n - 2^n*c(n, 1) - 2^(n - 1)*c(n, 2) - 2^n*c(n, 3) - 2^(n-1)*c(n, 4)-……

= 4^n - 2^n*2^(n-1) - 2^(n-1)*(2^(n-1)-1)

= 4^(n-1) + 2^(n-1)

在计算过程中我们发现k奇数的时候没有问题是 2*2^(n-1)*2^(n-1)

k偶数的时候要把k=0的情况算上所以要减去一个1，因为k=0是符合情况的不需要减去，这样就没问题了。

另外这题不用费马小定理也能AC。

#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll mod=;

ll n;

ll pow1(ll a,ll b)

{

    ll ans=;

    while(b)

    {

        if(b&)

        ans=ans*a%mod;

        b>>=;

        a=a*a%mod;

    }

    return ans;

}

int main()

{

    int t;

    scanf("%d",&t);

    while(t--)

    {

        scanf("%lld",&n);

        n%=(mod-);

        if(n==) n=mod-;

        ll ans=pow1(,n-);

        ans=(ans*ans%mod+ans)%mod;

        printf("%lld\n",ans);

    }

    return ;

}