洛谷 P1447 [NOI2010]能量采集 （莫比乌斯反演）

题意：问题可以转化成求$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(2*gcd(i,j)-1)$

将2和-1提出来可以得到：$2*\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)-n*m$

令Ans=$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}gcd(i,j)$

=$\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==d]$

=$\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\mu(i){\lfloor \frac{n}{id}\rfloor}{\lfloor \frac{m}{id}\rfloor}$

枚举id，Ans=$\sum_{T=1}^{n}{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor}{\lfloor \frac{m}{T}\rfloor}\sum_{d|T}\mu(d)\frac{T}{d}$

后面这个求和正好是狄利克雷卷积形式，更巧的是$\mu*id=\varphi$。

Ans=$\sum_{T=1}^{n}{\lfloor \frac{n}{T}\rfloor}{\lfloor \frac{m}{T}\rfloor}\varphi (T)$

输出2*Ans-n*m即可。

预处理欧拉函数前缀和，另一部分整除分块。

#include <bits/stdc++.h>

#define ll long long

using namespace std;

const int N=1e5+;

bool p[N];

int pri[N],phi[N],tot;

ll pre[N];

void init() {

    phi[]=;

    for(int i=;i<N;i++) {

        if(!p[i]) pri[tot++]=i,phi[i]=i-;

        for(int j=;j<tot&&i*pri[j]<N;j++) {

            p[i*pri[j]]=true;

            if(i%pri[j]==) {

                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];

                break;

            }

            else phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];

        }

    }

    for(int i=;i<N;i++) pre[i]=pre[i-]+phi[i];

}

int main() {

    init();

    int n,m;

    scanf("%d%d",&n,&m);

    if(n>m) swap(n,m);

    ll ans=;

    for(int l=,r;l<=n;l=r+) {

        r=min(n/(n/l),m/(m/l));

        ans+=1LL*(pre[r]-pre[l-])*(n/l)*(m/l);

    }

    printf("%lld\n",*ans-1LL*n*m);

    return ;

}