11 SMO优化算法（Sequential minimal optimization）
SMO算法由Microsoft Research的John C. Platt在1998年提出，并成为最快的二次规划优化算法，特别针对线性SVM和数据稀疏时性能更优。关于SMO最好的资料就是他本人写的《Sequential Minimal Optimization A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines》了。
我拜读了一下，下面先说讲义上对此方法的总结。
首先回到我们前面一直悬而未解的问题，对偶函数最后的优化问题：
要解决的是在参数上求最大值W的问题，至于
和
都是已知数。C由我们预先设定，也是已知数。
按照坐标上升的思路，我们首先固定除以外的所有参数，然后在
上求极值。等一下，这个思路有问题，因为如果固定
以外的所有参数，那么
将不再是变量（可以由其他值推出），因为问题中规定了
因此，我们需要一次选取两个参数做优化，比如和
，此时
可以由
和其他参数表示出来。这样回带到W中，W就只是关于
的函数了，可解。
这样，SMO的主要步骤如下：
意思是，第一步选取一对和
，选取方法使用启发式方法（后面讲）。第二步，固定除
和
之外的其他参数，确定W极值条件下的
，
由
表示。
SMO之所以高效就是因为在固定其他参数后，对一个参数优化过程很高效。
下面讨论具体方法：
假设我们选取了初始值满足了问题中的约束条件。接下来，我们固定
，这样W就是
和
的函数。并且
和
满足条件：
由于都是已知固定值，因此为了方面，可将等式右边标记成实数值
。
当和
异号时，也就是一个为1，一个为-1时，他们可以表示成一条直线，斜率为1。如下图：
横轴是，纵轴是
，
和
既要在矩形方框内，也要在直线上，因此
，
同理，当和
同号时，
，
然后我们打算将用
表示：
然后反代入W中，得
展开后W可以表示成。其中a,b,c是固定值。这样，通过对W进行求导可以得到
，然而要保证
满足
，我们使用
表示求导求出来的
，然而最后的
，要根据下面情况得到：
这样得到后，我们可以得到
的新值
。
下面进入Platt的文章，来找到启发式搜索的方法和求b值的公式。
这边文章使用的符号表示有点不太一样，不过实质是一样的，先来熟悉一下文章中符号的表示。
文章中定义特征到结果的输出函数为
与我们之前的实质是一致的。
原始的优化问题为：
求导得到：
经过对偶后为：
s.t.
这里与W函数是一样的，只是符号求反后，变成求最小值了。和
是一样的，都表示第i个样本的输出结果（1或-1）。
经过加入松弛变量后，模型修改为：
由公式（7）代入（1）中可知，
这个过程和之前对偶过程一样。
重新整理我们要求的问题为：
与之对应的KKT条件为：
这个KKT条件说明，在两条间隔线外面的点，对应前面的系数为0，在两条间隔线里面的对应
为C，在两条间隔线上的对应的系数
在0和C之间。
将我们之前得到L和H重新拿过来：
之前我们将问题进行到这里，然后说将用
表示后代入W中，这里将代入
中，得
其中
这里的和
代表某次迭代前的原始值，因此是常数，而
和
是变量，待求。公式（24）中的最后一项是常数。
由于和
满足以下公式
因为的值是固定值，在迭代前后不会变。
那么用s表示，上式两边乘以
时，变为：
其中
代入（24）中，得
这时候只有是变量了，求导
如果的二阶导数大于0（凹函数），那么一阶导数为0时，就是极小值了。
假设其二阶导数为0（一般成立），那么上式化简为：
将w和v代入后，继续化简推导，得（推导了六七行推出来了）
我们使用来表示：
通常情况下目标函数是正定的，也就是说，能够在直线约束方向上求得最小值，并且。
那么我们在（30）两边都除以可以得到
这里我们使用表示优化后的值，
是迭代前的值，
。
与之前提到的一样不是最终迭代后的值，需要进行约束：
那么
在特殊情况下，可能不为正，如果核函数K不满足Mercer定理，那么目标函数可能变得非正定，
可能出现负值。即使K是有效的核函数，如果训练样本中出现相同的特征x，那么
仍有可能为0。SMO算法在
不为正值的情况下仍有效。为保证有效性，我们可以推导出
就是
的二阶导数，
，
没有极小值，最小值在边缘处取到（类比
），
时更是单调函数了，最小值也在边缘处取得，而
的边缘就是L和H。这样将
和
分别代入
中即可求得
的最小值，相应的
还是
也可以知道了。具体计算公式如下：
至此，迭代关系式出了b的推导式以外，都已经推出。
b每一步都要更新，因为前面的KKT条件指出了和
的关系，而
和b有关，在每一步计算出
后，根据KKT条件来调整b。
b的更新有几种情况：
来自罗林开的ppt
这里的界内指，界上就是等于0或者C了。
前面两个的公式推导可以根据
和对于有
的KKT条件推出。
这样全部参数的更新公式都已经介绍完毕，附加一点，如果使用的是线性核函数，我们就可以继续使用w了，这样不用扫描整个样本库来作内积了。
w值的更新方法为：
根据前面的
公式推导出。
12 SMO中拉格朗日乘子的启发式选择方法
终于到了最后一个问题了，所谓的启发式选择方法主要思想是每次选择拉格朗日乘子的时候，优先选择样本前面系数的
作优化（论文中称为无界样例），因为在界上（
为0或C）的样例对应的系数
一般不会更改。
这条启发式搜索方法是选择第一个拉格朗日乘子用的，比如前面的。那么这样选择的话，是否最后会收敛。可幸的是Osuna定理告诉我们只要选择出来的两个
中有一个违背了KKT条件，那么目标函数在一步迭代后值会减小。违背KKT条件不代表
，在界上也有可能会违背。是的，因此在给定初始值
=0后，先对所有样例进行循环，循环中碰到违背KKT条件的（不管界上还是界内）都进行迭代更新。等这轮过后，如果没有收敛，第二轮就只针对
的样例进行迭代更新。
在第一个乘子选择后，第二个乘子也使用启发式方法选择，第二个乘子的迭代步长大致正比于，选择第二个乘子能够最大化
。即当
为正时选择负的绝对值最大的
，反之，选择正值最大的
。
最后的收敛条件是在界内（）的样例都能够遵循KKT条件，且其对应的
只在极小的范围内变动。
至于如何写具体的程序，请参考John C. Platt在论文中给出的伪代码。
13 总结
这份SVM的讲义重点概括了SVM的基本概念和基本推导，中规中矩却又让人醍醐灌顶。起初让我最头疼的是拉格朗日对偶和SMO，后来逐渐明白拉格朗日对偶的重要作用是将w的计算提前并消除w，使得优化函数变为拉格朗日乘子的单一参数优化问题。而SMO里面迭代公式的推导也着实让我花费了不少时间。
对比这么复杂的推导过程，SVM的思想确实那么简单。它不再像logistic回归一样企图去拟合样本点（中间加了一层sigmoid函数变换），而是就在样本中去找分隔线，为了评判哪条分界线更好，引入了几何间隔最大化的目标。
之后所有的推导都是去解决目标函数的最优化上了。在解决最优化的过程中，发现了w可以由特征向量内积来表示，进而发现了核函数，仅需要调整核函数就可以将特征进行低维到高维的变换，在低维上进行计算，实质结果表现在高维上。由于并不是所有的样本都可分，为了保证SVM的通用性，进行了软间隔的处理，导致的结果就是将优化问题变得更加复杂，然而惊奇的是松弛变量没有出现在最后的目标函数中。最后的优化求解问题，也被拉格朗日对偶和SMO算法化解，使SVM趋向于完美。
另外，其他很多议题如SVM背后的学习理论、参数选择问题、二值分类到多值分类等等还没有涉及到，以后有时间再学吧。其实朴素贝叶斯在分类二值分类问题时，如果使用对数比，那么也算作线性分类器。