【洛谷4884】多少个1？（BSGS）

点此看题面

大致题意： 求满足\(个111...111(N\text{个}1)\equiv K(mod\ m)\)的最小\(N\)。

题目来源

这题是洛谷某次极不良心的月赛的\(T1\)，当时不会\(BSGS\)的我一脸蒙蔽，直接交暴力弃疗。

公式转换

如果你会\(BSGS\)，这题就是一道入门级别的板子题。

首先我们要知道一个很基础的变形：

\[111...111(N\text{个}1)=10^{N-1}+10^{N-2}+...+10^0=\frac{10^N-1}9
\]

于是我们得到了：

\[\frac{10^N-1}9\equiv K(mod\ m)
\]

再一变形，就成了这样：

\[10^N\equiv 9K+1(mod\ m)
\]

直接套上\(BSGS\)做即可。

细节

这道题在乘的过程中有可能会爆\(long\ long\)。

于是我们要用\(\_\_int128\)。（没办法，谁让我不会快速乘）

代码

#include<bits/stdc++.h>

#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))

#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))

#define uint unsigned int

#define LL long long

#define ull unsigned long long

#define swap(x,y) (x^=y,y^=x,x^=y)

#define abs(x) ((x)<0?-(x):(x))

#define INF 1e9

#define Inc(x,y) ((x+=(y))>=MOD&&(x-=MOD))

#define ten(x) (((x)<<3)+((x)<<1))

using namespace std;

__int128 k,MOD;map<__int128,__int128> s;

class FIO

{

    private:

        #define Fsize 100000

        #define tc() (FinNow==FinEnd&&(FinEnd=(FinNow=Fin)+fread(Fin,1,Fsize,stdin),FinNow==FinEnd)?EOF:*FinNow++)

        #define pc(ch) (FoutSize<Fsize?Fout[FoutSize++]=ch:(fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout),Fout[(FoutSize=0)++]=ch))

        __int128 f,FoutSize,OutputTop;char ch,Fin[Fsize],*FinNow,*FinEnd,Fout[Fsize],OutputStack[Fsize];

    public:

        FIO() {FinNow=FinEnd=Fin;}

        inline void read(__int128 &x) {x=0,f=1;while(!isdigit(ch=tc())) f=ch^'-'?1:-1;while(x=ten(x)+(ch&15),isdigit(ch=tc()));x*=f;}

        inline void read_char(char &x) {while(isspace(x=tc()));}

        inline void read_string(string &x) {x="";while(isspace(ch=tc()));while(x+=ch,!isspace(ch=tc())) if(!~ch) return;}

        inline void write(__int128 x) {if(!x) return (void)pc('0');if(x<0) pc('-'),x=-x;while(x) OutputStack[++OutputTop]=x%10+48,x/=10;while(OutputTop) pc(OutputStack[OutputTop]),--OutputTop;}

        inline void write_char(char x) {pc(x);}

        inline void write_string(string x) {register __int128 i,len=x.length();for(i=0;i<len;++i) pc(x[i]);}

        inline void end() {fwrite(Fout,1,FoutSize,stdout);}

}F;

inline __int128 BSGS(__int128 x,__int128 y,__int128 MOD)//BSGS算法板子

{

    register __int128 i,t=1,base,Size=ceil(sqrt(1.0*MOD));

    for(i=0;i<=Size;++i) s[t*y%MOD]=i,base=t,t=t*x%MOD;

    for(t=base,i=1;i<=Size;++i,t=t*base%MOD) if(s[t]) return i*Size-s[t];

    return 0;

}

int main()

{

    F.read(k),F.read(MOD),F.write(BSGS(10,(9*k+1)%MOD,MOD));//将转化后的式子用BSGS求解

    return F.end(),0;

}