感知机（perceptron）原理总结

1. 感知机原理
2. 损失函数
3. 优化方法
4. 感知机的原始算法
5. 感知机的对偶算法
6. 从图形中理解感知机的原始算法
7. 感知机算法(PLA)的收敛性
8. 应用场景与缺陷
9. 其他
10. 参考资料

1. 感知机原理

感知机是二分类的线性分类模型，本质上想找到一条直线或者分离超平面对数据进行线性划分

适用于线性可分的数据集，否则感知机不会收敛

假设有一个数据集$D = {(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_N, y_N)}$，其中$x_i \in R^n$，即$x_i = (x_i^{(1)}, x_i^{(2)}, ...x_i^{(n)})$

模型的输入为实例的特征向量$x_i$，输出为实例的类别，取值为+1（正例）或者-1（负例）
我们希望找到一个分离超平面$w^Tx + b = 0，其中w \in R^n$，使得有满足$w^Tx + b > 0$的实例所对应的类别为正例。而使得满足$w^Tx + b < 0$的实例所对应的类别为负例。

于是我们可以构建出感知机模型为：$f(x) = sign(w^Tx + b)$

2. 损失函数

定义损失函数一个很自然的想法是建立在误分类点的个数上，但是使用误分类点的个数来构造损失函数并不容易优化

因此使用误分类点到分离超平面的总距离来构造损失函数

记M为误分类点的集合，误分类点到分离超平面的总距离为：

\[L(w, b) = \sum_{x_i \in M}\frac{| w^Tx_i + b |}{\parallel w \parallel}
\]

不考虑$\frac{1}{\parallel w \parallel}$（因为上式中，分子和分母有固定倍数的关系），并且去掉绝对值，就可以得到感知机的损失函数为：

\[L(w, b) = \sum_{x_i \in M} -y_i (w^Tx_i + b)
\]

此时对于误分类点，$-y_i (w^Tx_i + b) > 0$成立

3. 优化方法

此时感知机算法就转变为，求解参数$w, b$，使得损失函数极小化，即

\[\underset {w, b}{\arg \min L(w, b)} = \underset {w, b}{\arg \min} \sum_{x_i \in M} -y_i (w^Tx_i + b)
\]

因为只有对误分类点才会对损失函数进行优化，因此感知机的优化采用随机梯度下降法（SGD），而非使用所有样本的批量随机梯度下降法（BGD）

损失函数$L(w, b)$的梯度为：

\[\frac{\partial L(w, b)}{\partial w} = -\sum_{x_i \in M} y_i x_i
\]

\[\frac{\partial L(w, b)}{\partial b} = -\sum_{x_i \in M} y_i
\]

对于SGD，选取一个误分类点进行更新，即有：

\[w_{t+1} = w_t + \alpha y_ix_i
\]

\[b_{t+1} = b_t + \alpha y_i
\]

4. 感知机的原始算法

训练集包括N个样例，样本中包含n个特征，标记为二分类取值为-1或者+1

输入的样例：${(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_N, y_N)}$，学习率：$\alpha$
输出分离超平面的系数w, b

算法执行步骤如下：

初始化w, b以及学习率$\alpha$
在训练集选取数据$(x_i, y_i)$
如果满足$-y_i(sign(w^Tx_i + b)) > 0$，则

\[w_{t+1} = w_t + \alpha y_i x_i
\]

\[b_{t+1} = b_t + \alpha y_i
\]

转至2，直到训练集中没有误分类点

5. 感知机的对偶算法

对偶形式的基本想法是，将$w$和$b$表示为实例$x_i$和标记$y_i$的线性组合的形式，通过求解它的系数来求解$w$和$b$

假设初始值$w_0$和$b_0$都为0，因此$w$和$b$可以表示成$x_iy_i$和$y_i$的增量形式，即原始形式可以化成：

\[w_{t+1} = \sum_{i=1}^{N}\beta_i y_i x_i
\]

\[b_{t+1} = \sum_{i=1}^N \beta_i y_i
\]

其中，$\beta_i = n_i \alpha$，$n_i$表示第$i$个实例$x_i$更新的次数

此时，模型转变为

\[f(x) = sign(\sum_{j=1}^N \beta_j x_j y_j x + b)
\]

训练集包括N个样例，样本中包含n个特征，标记为二分类取值为-1或者+1

输入的样例：${(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_N, y_N)}$，学习率：$\alpha$
输出分离超平面的系数$\beta$, b

算法执行步骤如下：

初始化$\beta$, b以及学习率$\alpha$
在训练集选取数据$(x_i, y_i)$
如果满足$y_i(sign(\sum_{j=1}^N \beta_j y_j x_j x_i + b)) <= 0$，则

\[\beta_j(t+1) = \beta_j(t) + \alpha
\]

\[b_{t+1} = b_t + \alpha y_i
\]

转至2，直到训练集中没有误分类点

其中，训练实例可以通过计算Gram矩阵（即$x_i$和$x_j$的内积组成的矩阵）的形式来存储

6. 从图形中理解感知机的原始算法

为了方便说明，记$\hat w = (w, b)$，$\hat x = (x, 1)$，则感知机模型可以变为：

\[f(x) = sign(\hat w^T \hat x)
\]

之前我们说明了，只有误分类点才会对$\hat w$进行更新。因此，考虑以下两种情况：

真实类别为y=+1, 但是模型的输出为-1
- 考虑到$\hat w^T \hat x = |\hat w||\hat x|cos\theta$
- 对于真实类别，我们希望说明$\hat w^T \hat x > 0$，即$\hat w$和$\hat x$的夹角越小越好，而模型的输出有$\hat w^T \hat x < 0$，则说明$\hat w$和$\hat x$的夹角过大
- 因此，我们可以通过减少$\hat w$和$\hat x$的夹角来达到目的，即有$\hat w(t+1) = \hat w(t) + \hat x(t)$（对应着$w_{t+1} = w_t + \alpha y_i x_i$，且$\alpha = 1$的情况）
- $y_i \hat w_{t+1}^T \hat x_i = y_i \hat w_t^T \hat x_i + y_i \parallel \hat x_i \parallel \geq y_i \hat w_t^T \hat x_i$
真实类别为y=-1, 但是模型的输出为+1
- 考虑到$\hat w^T \hat x = |\hat w||\hat x|cos\theta$
- 对于真实类别，我们希望说明$\hat w^T \hat x < 0$，即$\hat w$和$\hat x$的夹角越大越好，而模型的输出有$\hat w^T \hat x > 0$，则说明$\hat w$和$\hat x$的夹角过小
- 因此，我们可以通过增大$\hat w$和$\hat x$的夹角来达到目的，即有$\hat w(t+1) = \hat w(t) - \hat x(t)$（对应着$w_{t+1} = w_t - \alpha y_i x_i$，且$\alpha$ = 1的情况）
- $y_i \hat w_{t+1}^T \hat x_i = y_i \hat w_t^T \hat x_i - y_i \parallel \hat x_i \parallel = y_i \hat w_t^T \hat x_i + \parallel \hat x_i \parallel \geq y_i \hat w_t^T \hat x_i$

其实，无论对于误分类的情况1还是情况2，总有$y_i \hat w_{t+1}^T \hat x_i = \geq y_i \hat w_t^T \hat x_i$，因为$y_i \hat w_t^T \hat x_i$的符号代表是否分类正确，大小代表分类超平面是否将其“分得很开”，上面的不等式说明了，对于某个误分类点来说，更新后要比更新前要好，算法PLA对该误分类点“学习”了。

7. 感知机算法(PLA)的收敛性

对于线性可分的数据集，总能找到一个或者多个分类超平面能将该数据集划分，这表明了PLA的收敛性。

这部分主要参考林轩田的《机器学习基石》，个人觉得讲得要比李航的《统计学习方法》要清晰，虽然证明本质上是一样的

说明两个向量的相似性有很多方法，其中计算两个向量的内积是一种方法。当内积越大，表明两个向量越相似。当然，这需要考虑向量的长度，当模长越大时，向量的内积也会越来越大。

符号说明：$w_f$代表真实的w，$w_t$代表我们找到的w，这里为了符号简洁些，不记成$\hat w$，但是含义一样，即$w_f$和$w_t$里面包含$b$，记学习率$\alpha = 1$

先讨论$w_f$和$w_t$的内积，$w_0$为0向量

\begin{equation}

\begin{split}

w_f^T w_t & = w_f^T(w_{t-1} + y_ix_i) \\

& = w_f^T w_{t-1} + y_i w_f^T x_i \\

& \geq w_f w_{t-1} + \underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i) \\

& \geq w_f w_0 + t \underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i) \\

& = t \underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)

\end{split}

\end{equation}
讨论$w_f$和$w_t$的模长，由于只有误分类点才更新，所以有$y_i w_{t}^T x_i \leq 0$

\begin{equation}

\begin{split}

\parallel w_t \parallel^2 & = \parallel w_{t-1} + y_ix_i \parallel^2 \\

&= \parallel w_{t-1} \parallel^2 + 2y_i w_{t_1}^T x_i + \parallel y_ix_i \parallel^2 \\

& \leq \parallel w_{t-1} \parallel^2 + \parallel x_i \parallel^2 \\

& \leq \parallel w_{t-1} \parallel^2 + \underset {i} {max} \parallel x_i \parallel^2 \\

& \leq \parallel w_{0} \parallel^2 + t \underset {i} {max} \parallel x_i \parallel^2 \\

& = t \underset {i} {max} \parallel x_i \parallel^2

\end{split}

\end{equation}
讨论$w_f$和$w_t$的角度

\begin{equation}

\begin{split}

1 \geq cos \theta = \frac{w_f^T w_t}{\parallel w_f \parallel \parallel w_t \parallel} &

\geq \frac{t \underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)}{\parallel w_f \parallel \sqrt{t \underset {i} {max} \parallel x_i \parallel^2}} \\

& = \frac{\sqrt{t} \underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)}{\parallel w_f \parallel \sqrt{\underset {i} {max} \parallel x_i \parallel^2}}

\end{split}

\end{equation}
化解得到t的关系式

\[t \leq \frac{\parallel w_f \parallel^2 \underset {i} {max} \parallel x_i \parallel^2}{\underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)^2} = \frac{R^2}{\rho^2}
\]

其中，$$R^2 = \underset {i} {max} \parallel x_i \parallel^2, \rho = \frac{\underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)}{\parallel w_f \parallel}$$

由上述不等式说明了，更新次数是有上限的，这也就证明了收敛性

8. 应用场景与缺陷

感知机仅限于数据线性可分的情况，对于线性不可分的情况，该算法不收敛。
感知机的收敛步数受两类别之间间隔的影响。间隔越小，收敛的步数越大。

9. 其他

从感知机的分类原理中，可以看出满足条件的超平面并不止一个，不同的超平面依赖于参数的初始值。也就是说感知机模型可以有多个解。

泛化能力最好的决策超平面
- 能够将两个类型的样本分开
- 能够最大化决策边界附近的两类型之间的距离
  
  当然，感知机也是神经网络的重要基础，因此也可以从神经网络的角度来说明

10. 参考资料

李航《统计学习方法》
林轩田《机器学习基石》