K-means算法的工作流程

  首先,随机确定k个初始点的质心;然后将数据集中的每一个点分配到一个簇中,即为每一个点找到距其最近的质心,并将其分配给该质心所对应的簇;该步完成后,每一个簇的质心更新为该簇所有点的平均值。伪代码如下:

K均值-LMLPHP
创建k个点作为起始质心,可以随机选择(位于数据边界内)
  当任意一个点的簇分配结果发生改变时
    对数据集中每一个点
        对每个质心
          计算质心与数据点之间的距离
        将数据点分配到距其最近的簇
    对每一个簇,计算簇中所有点的均值并将均值作为质心
K均值-LMLPHP

  再看实际的代码:

K均值-LMLPHP
#导入numpy库
from numpy import *
#K-均值聚类辅助函数 #文本数据解析函数
def numpy import *
dataMat=[]
fr=open(fileName)
for line in fr.readlines():
curLine=line.strip().split('\t')
#将每一行的数据映射成float型
fltLine=map(float,curLine)
dataMat.append(fltLine)
return dataMat #数据向量计算欧式距离
def distEclud(vecA,vecB):
return sqrt(sum(power(vecA-vecB,2))) #随机初始化K个质心(质心满足数据边界之内)
def randCent(dataSet,k):
#得到数据样本的维度
n=shape(dataSet)[1]
#初始化为一个(k,n)的矩阵
centroids=mat(zeros((k,n)))
#遍历数据集的每一维度
for j in range(n):
#得到该列数据的最小值
minJ=min(dataSet[:,j])
#得到该列数据的范围(最大值-最小值)
rangeJ=float(max(dataSet[:,j])-minJ)
#k个质心向量的第j维数据值随机为位于(最小值,最大值)内的某一值
centroids[:,j]=minJ+rangeJ*random.rand(k,1)
#返回初始化得到的k个质心向量
return centroids #k-均值聚类算法
#@dataSet:聚类数据集
#@k:用户指定的k个类
#@distMeas:距离计算方法,默认欧氏距离distEclud()
#@createCent:获得k个质心的方法,默认随机获取randCent()
def kMeans(dataSet,k,distMeas=distEclud,createCent=randCent):
#获取数据集样本数
m=shape(dataSet)[0]
#初始化一个(m,2)的矩阵
clusterAssment=mat(zeros((m,2)))
#创建初始的k个质心向量
centroids=createCent(dataSet,k)
#聚类结果是否发生变化的布尔类型
clusterChanged=True
#只要聚类结果一直发生变化,就一直执行聚类算法,直至所有数据点聚类结果不变化
while clusterChanged:
#聚类结果变化布尔类型置为false
clusterChanged=False
#遍历数据集每一个样本向量
for i in range(m):
#初始化最小距离最正无穷;最小距离对应索引为-1
minDist=inf;minIndex=-1
#循环k个类的质心
for j in range(k):
#计算数据点到质心的欧氏距离
distJI=distMeas(centroids[j,:],dataSet[i,:])
#如果距离小于当前最小距离
if distJI<minDist:
#当前距离定为当前最小距离;最小距离对应索引对应为j(第j个类)
minDist=distJI;minIndex=j
#当前聚类结果中第i个样本的聚类结果发生变化:布尔类型置为true,继续聚类算法
if clusterAssment[i,0] !=minIndex:clusterChanged=True
#更新当前变化样本的聚类结果和平方误差
clusterAssment[i,:]=minIndex,minDist**2
#打印k-均值聚类的质心
print centroids
#遍历每一个质心
for cent in range(k):
#将数据集中所有属于当前质心类的样本通过条件过滤筛选出来
ptsInClust=dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==cent)[0]]
#计算这些数据的均值(axis=0:求列的均值),作为该类质心向量
centroids[cent,:]=mean(ptsInClust,axis=0)
#返回k个聚类,聚类结果及误差
return centroids,clusterAssment
K均值-LMLPHP

  需要说明的是,在算法中,相似度的计算方法默认的是欧氏距离计算,当然也可以使用其他相似度计算函数,比如余弦距离;算法中,k个类的初始化方式为随机初始化,并且初始化的质心必须在整个数据集的边界之内,这可以通过找到数据集每一维的最大值和最小值;然后最小值+取值范围*0到1的随机数,来确保随机点在数据边界之内。

  在实际的K-means算法中,采用计算质心-分配-重新计算质心的方式反复迭代,算法停止的条件是,当然数据集所有的点分配的距其最近的簇不在发生变化时,就停止分配,更新所有簇的质心后,返回k个类的质心(一般是向量的形式)组成的质心列表,以及存储各个数据点的分类结果和误差距离的平方的二维矩阵。

  上面返回的结果中,之所以存储每个数据点距离其质心误差距离平方,是便于后续的算法预处理。因为K-means算法采取的是随机初始化k个簇的质心的方式,因此聚类效果又可能陷入局部最优解的情况,局部最优解虽然效果不错,但不如全局最优解的聚类效果更好。所以,后续会在算法结束后,采取相应的后处理,使算法跳出局部最优解,达到全局最优解,获得最好的聚类效果。

  可以看一个聚类的例子:

K均值-LMLPHP

K均值-LMLPHP

K均值-LMLPHP

K均值-LMLPHP

3 后处理提高聚类性能

K均值-LMLPHP  有时候当我们观察聚类的结果图时,发现聚类的效果没有那么好,如上图所示,K-means算法在k值选取为3时的聚类结果,我们发现,算法能够收敛但效果较差。显然,这种情况的原因是,算法收敛到了局部最小值,而并不是全局最小值,局部最小值显然没有全局最小值的结果好。

  那么,既然知道了算法已经陷入了局部最小值,如何才能够进一步提升K-means算法的效果呢?

  一种用于度量聚类效果的指标是SSE,即误差平方和, 为所有簇中的全部数据点到簇中心的误差距离的平方累加和。SSE的值如果越小,表示数据点越接近于它们的簇中心,即质心,聚类效果也越好。因为,对误差取平方后,就会更加重视那些远离中心的数据点。

  显然,我们知道了一种改善聚类效果的做法就是降低SSE,那么如何在保持簇数目不变的情况下提高簇的质量呢?

  一种方法是:我们可以将具有最大SSE值得簇划分为两个簇(因为,SSE最大的簇一般情况下,意味着簇内的数据点距离簇中心较远),具体地,可以将最大簇包含的点过滤出来并在这些点上运行K-means算法,其中k设为2.

  同时,当把最大的簇(上图中的下半部分)分为两个簇之后,为了保证簇的数目是不变的,我们可以再合并两个簇。具体地:

  一方面我们可以合并两个最近的质心所对应的簇,即计算所有质心之间的距离,合并质心距离最近的两个质心所对应的簇。

  另一方面,我们可以合并两个使得SSE增幅最小的簇,显然,合并两个簇之后SSE的值会有所上升,那么为了最好的聚类效果,应该尽可能使总的SSE值小,所以就选择合并两个簇后SSE涨幅最小的簇。具体地,就是计算合并任意两个簇之后的总得SSE,选取合并后最小的SSE对应的两个簇进行合并。这样,就可以满足簇的数目不变。

  上面,是对已经聚类完成的结果进行改善的方法,在不改变k值的情况下,上述方法能够起到一定的作用,会使得聚类效果得到一定的改善。那么,下面要讲到的是一种克服算法收敛于局部最小值问题的K-means算法。即二分k-均值算法。

二分K-means算法

  二分K-means算法首先将所有点作为一个簇,然后将簇一分为二。之后选择其中一个簇继续进行划分,选择哪一个簇取决于对其进行划分是否能够最大程度的降低SSE的值。上述划分过程不断重复,直至划分的簇的数目达到用户指定的值为止。

  二分K-means算法的伪代码如下:

K均值-LMLPHP
将所有点看成一个簇
当簇数目小于k时
对于每一个簇
计算总误差
在给定的簇上面进行k-均值聚类(k=2)
计算将该簇一分为二之后的总误差
选择使得总误差最小的簇进行划分
K均值-LMLPHP

  当然,也可以选择SSE最大的簇进行划分,知道簇数目达到用户指定的数目为止。下面看具体的代码:

K均值-LMLPHP
#二分K-均值聚类算法
#@dataSet:待聚类数据集
#@k:用户指定的聚类个数
#@distMeas:用户指定的距离计算方法,默认为欧式距离计算
def biKmeans(dataSet,k,distMeas=distEclud):
#获得数据集的样本数
m=shape(dataSet)[0]
#初始化一个元素均值0的(m,2)矩阵
clusterAssment=mat(zeros((m,2)))
#获取数据集每一列数据的均值,组成一个长为列数的列表
centroid0=mean(dataSet,axis=0).tolist()[0]
#当前聚类列表为将数据集聚为一类
centList=[centroid0]
#遍历每个数据集样本
for j in range(m):
#计算当前聚为一类时各个数据点距离质心的平方距离
clusterAssment[j,1]=distMeas(mat(centroid0),dataSet[j,:])**2
#循环,直至二分k-均值达到k类为止
while (len(centList)<k):
#将当前最小平方误差置为正无穷
lowerSSE=inf
#遍历当前每个聚类
for i in range(len(centList)):
#通过数组过滤筛选出属于第i类的数据集合
ptsInCurrCluster=\
dataSet[nonzero(clusterAssment[:,0].A==i)[0],:]
#对该类利用二分k-均值算法进行划分,返回划分后结果,及误差
centroidMat,splitClustAss=\
kMeans(ptsInCurrCluster,2,distMeas)
#计算该类划分后两个类的误差平方和
sseSplit=sum(splitClustAss[:,1])
#计算数据集中不属于该类的数据的误差平方和
sseNotSplit=\
sum(clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A!=i)[0],1])
#打印这两项误差值
print('sseSplit,and notSplit:',%(sseSplit,sseNotSplit))
#划分第i类后总误差小于当前最小总误差
if(sseSplit+sseNotSplit)<lowerSSE:
#第i类作为本次划分类
bestCentToSplit=i
#第i类划分后得到的两个质心向量
bestNewCents=centroidMat
#复制第i类中数据点的聚类结果即误差值
bestClustAss=splitClustAss.copy()
#将划分第i类后的总误差作为当前最小误差
lowerSSE=sseSplit+sseNotSplit
#数组过滤筛选出本次2-均值聚类划分后类编号为1数据点,将这些数据点类编号变为
#当前类个数+1,作为新的一个聚类
bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A==1)[0],0]=\
len(centList)
#同理,将划分数据集中类编号为0的数据点的类编号仍置为被划分的类编号,使类编号
#连续不出现空缺
bestClustAss[nonzero(bestClustAss[:,0].A==0)[0],0]=\
bestCentToSplit
#打印本次执行2-均值聚类算法的类
print('the bestCentToSplit is:',%bestCentToSplit)
#打印被划分的类的数据个数
print('the len of bestClustAss is:',%(len(bestClustAss)))
#更新质心列表中的变化后的质心向量
centList[bestCentToSplit]=bestNewCents[0,:]
#添加新的类的质心向量
centList.append(bestNewCents[1,:])
#更新clusterAssment列表中参与2-均值聚类数据点变化后的分类编号,及数据该类的误差平方
clusterAssment[nonzero(clusterAssment[:,0].A==\
bestCentToSplit)[0],:]=bestClustAss
#返回聚类结果
return mat(centList),clusterAssment
K均值-LMLPHP

  在上述算法中,直到簇的数目达到k值,算法才会停止。在算法中通过将所有的簇进行划分,然后分别计算划分后所有簇的误差。选择使得总误差最小的那个簇进行划分。划分完成后,要更新簇的质心列表,数据点的分类结果及误差平方。具体地,假设划分的簇为m(m<k)个簇中的第i个簇,那么这个簇分成的两个簇后,其中一个取代该被划分的簇,成为第i个簇,并计算该簇的质心;此外,将划分得到的另外一个簇,作为一个新的簇,成为第m+1个簇,并计算该簇的质心。此外,算法中还存储了各个数据点的划分结果和误差平方,此时也应更新相应的存储信息。这样,重复该过程,直至簇个数达到k。

  通过上述算法,之前陷入局部最小值的的这些数据,经过二分K-means算法多次划分后,逐渐收敛到全局最小值,从而达到了令人满意的聚类效果。

K均值-LMLPHP

四,示例:对地图上的点进行聚类

  现在有一个存有70个地址和城市名的文本,而没有这些地点的距离信息。而我们想要对这些地点进行聚类,找到每个簇的质心地点,从而可以安排合理的行程,即质心之间选择交通工具抵达,而位于每个质心附近的地点就可以采取步行的方法抵达。显然,K-means算法可以为我们找到一种更加经济而且高效的出行方式。

1 通过地址信息获取相应的经纬度信息

  那么,既然没有地点之间的距离信息,怎么计算地点之间的距离呢?又如何比较地点之间的远近呢?

  我们手里只有各个地点的地址信息,那么如果有一个API,可以让我们输入地点信息,返回该地点的经度和纬度信息,那么我们就可以通过球面距离计算方法得到两个地点之间的距离了。而Yahoo!PlaceFinder API可以帮助我们实现这一目标。获取地点信息对应经纬度的代码如下:

K均值-LMLPHP
#Yahoo!PlaceFinder API
#导入urllib
import urllib
#导入json模块
import json #利用地名,城市获取位置经纬度函数
def geoGrab(stAddress,city):
#获取经纬度网址
apiStem='http://where.yahooapis.com/geocode?'
#初始化一个字典,存储相关参数
params={}
#返回类型为json
params['flags']='J'
#参数appid
params['appid']='ppp68N8t'
#参数地址位置信息
params['location']=('%s %s', %(stAddress,city))
#利用urlencode函数将字典转为URL可以传递的字符串格式
url_params=urllib.urlencode(params)
#组成完整的URL地址api
yahooApi=apiStem+url_params
#打印该URL地址
print('%s',yahooApi)
#打开URL,返回json格式的数据
c=urllib.urlopen(yahooApi)
#返回json解析后的数据字典
return json.load(c.read()) from time import sleep
#具体文本数据批量地址经纬度获取函数
def massPlaceFind(fileName):
#新建一个可写的文本文件,存储地址,城市,经纬度等信息
fw=open('places.txt','wb+')
#遍历文本的每一行
for line in open(fileName).readlines();
#去除首尾空格
line =line.strip()
#按tab键分隔开
lineArr=line.split('\t')
#利用获取经纬度函数获取该地址经纬度
retDict=geoGrab(lineArr[1],lineArr[2])
#如果错误编码为0,表示没有错误,获取到相应经纬度
if retDict['ResultSet']['Error']==0:
#从字典中获取经度
lat=float(retDict['ResultSet']['Results'][0]['latitute'])
#维度
lng=float(retDict['ResultSet']['Results'][0]['longitute'])
#打印地名及对应的经纬度信息
print('%s\t%f\t%f',%(lineArr[0],lat,lng))
#将上面的信息存入新的文件中
fw.write('%s\t%f\t%f\n',%(line,lat,lng))
#如果错误编码不为0,打印提示信息
else:print('error fetching')
#为防止频繁调用API,造成请求被封,使函数调用延迟一秒
sleep(1)
#文本写入关闭
fw.close()
K均值-LMLPHP

  在上述代码中,首先创建一个字典,字典里面存储的是通过URL获取经纬度所必要的参数,即我们想要的返回的数据格式flogs=J;获取数据的appid;以及要输入的地址信息(stAddress,city)。然后,通过urlencode()函数帮助我们将字典类型的信息转化为URL可以传递的字符串格式。最后,打开URL获取返回的JSON类型数据,通过JSON工具来解析返回的数据。且在返回的结果中,当错误编码为0时表示,得到了经纬度信息,而为其他值时,则表示返回经纬度信息失败。

  此外,在代码中,每次获取完一个地点的经纬度信息后,延迟一秒钟。这样做的目的是为了避免频繁的调用API,请求被封掉的情况。

  K均值-LMLPHP

2 对地理位置进行聚类

  我们已经得到了各个地点的经纬度信息,但是我们还要选择计算距离的合适的方式。我们知道,在北极每走几米的经度变化可能达到数十度,而沿着赤道附近走相同的距离,带来的经度变化可能是零。这是,我们可以使用球面余弦定理来计算两个经纬度之间的实际距离。具体代码如下:

K均值-LMLPHP
#球面距离计算及簇绘图函数
def distSLC(vecA,vecB):
#sin()和cos()以弧度未输入,将float角度数值转为弧度,即*pi/180
a=sin(vecA[0,1]*pi/180)*sin(vecB[0,1]*pi/180)
b=cos(vecA[0,1]*pi/180)*cos(vecB[0,1]*pi/180)*\
cos(pi*(vecB[0,0]-vecA[0,0])/180)
return arcos(a+b)*6371.0 import matplotlib
import matplotlib.pyplot as plt #@numClust:聚类个数,默认为5
def clusterClubs(numClust=5):
datList=[]
#解析文本数据中的每一行中的数据特征值
for line in open('places.txt').readlines():
lineArr=line.split('\t')
datList.append([float(lineArr[4]),float(lineArr[4])])
datMat=mat(datList)
#利用2-均值聚类算法进行聚类
myCentroids,clusterAssing=biKmeans(datMat,numClust,\
distMeas=distSLC)
#对聚类结果进行绘图
fig=plt.figure()
rect=[0.1,0.1,0.8,0.8]
scatterMarkers=['s','o','^','8'.'p',\
'd','v','h','>','<']
axprops=dict(xticks=[],ytick=[])
ax0=fig.add_axes(rect,label='ax0',**axprops)
imgP=plt.imread('Portland.png')
ax0.imshow(imgP)
ax1=fig.add_axes(rect,label='ax1',frameon=False)
for i in range(numClust):
ptsInCurrCluster=datMat[nonzero(clusterAssing[:,0].A==i)[0],:]
markerStyle=scatterMarkers[i % len(scatterMarkers))]
ax1.scatter(ptsInCurrCluster[:,0].flatten().A[0],\
ptsInCurrCluster[:,1].flatten().A[0],\
marker=markerStyle,s=90)
ax1.scatter(myCentroids[:,0].flatten().A[0],\
myCentroids[:,1].flatten().A[0],marker='+',s=300)
#绘制结果显示
plt.show()
K均值-LMLPHP

最后,将聚类的结果绘制出来:

K均值-LMLPHPK均值-LMLPHP

五,小结

  1 聚类是一种无监督的学习方法。聚类区别于分类,即事先不知道要寻找的内容,没有预先设定好的目标变量。

  2 聚类将数据点归到多个簇中,其中相似的数据点归为同一簇,而不相似的点归为不同的簇。相似度的计算方法有很多,具体的应用选择合适的相似度计算方法

  3 K-means聚类算法,是一种广泛使用的聚类算法,其中k是需要指定的参数,即需要创建的簇的数目,K-means算法中的k个簇的质心可以通过随机的方式获得,但是这些点需要位于数据范围内。在算法中,计算每个点到质心得距离,选择距离最小的质心对应的簇作为该数据点的划分,然后再基于该分配过程后更新簇的质心。重复上述过程,直至各个簇的质心不再变化为止。

  4 K-means算法虽然有效,但是容易受到初始簇质心的情况而影响,有可能陷入局部最优解。为了解决这个问题,可以使用另外一种称为二分K-means的聚类算法。二分K-means算法首先将所有数据点分为一个簇;然后使用K-means(k=2)对其进行划分;下一次迭代时,选择使得SSE下降程度最大的簇进行划分;重复该过程,直至簇的个数达到指定的数目为止。实验表明,二分K-means算法的聚类效果要好于普通的K-means聚类算法。

05-11 17:06