【BZOJ-4197】寿司晚宴状压DP

4197: [Noi2015]寿司晚宴

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Description

为了庆祝 NOI 的成功开幕，主办方为大家准备了一场寿司晚宴。小 G 和小 W 作为参加 NOI 的选手，也被邀请参加了寿司晚宴。

在晚宴上,主办方为大家提供了 n−1 种不同的寿司，编号 1,2,3,…,n−1，其中第 i 种寿司的美味度为 i+1 （即寿司的美味度为从 2 到 n）。

现在小 G 和小 W 希望每人选一些寿司种类来品尝，他们规定一种品尝方案为不和谐的当且仅当：小 G 品尝的寿司种类中存在一种美味度为 x 的寿司，小 W 品尝的寿司中存在一种美味度为 y 的寿司，而 x 与 y 不互质。

现在小 G 和小 W 希望统计一共有多少种和谐的品尝寿司的方案（对给定的正整数 p 取模）。注意一个人可以不吃任何寿司。

Input

输入文件的第 1 行包含 2 个正整数 n,p，中间用单个空格隔开，表示共有 n 种寿司，最终和谐的方案数要对 p 取模。

Output

输出一行包含 1 个整数，表示所求的方案模 p 的结果。

Sample Input

3 10000

Sample Output

HINT

2≤n≤500

0<p≤1000000000

Source

Solution

这数据范围一眼看上去是没什么头绪的，但是可以进行一些猜想

选一个数，相当于选他的质因子，所以考虑筛一下$500$以内的质数,发现有接近$100$个,然后对于一个数$n$,它的大于等于$\sqrt n$的质因数至多有一个

然后$\sqrt 500$以内的质数只有$8$个,这就很好搞了,状压一下.

对于每个数记录它小于$\sqrt 500$以内的质因数的情况,再额外记录一下它大于$\sqrt 500$的质因数,这样就可以dp了.

显然对于大于$\sqrt 500$的质因数相同的数需要同时dp,这样分两次dp即可.

Code

#include<iostream>

#include<cstdio>

#include<cstring>

#include<cmath>

#include<algorithm>

using namespace std;

#define MAXN 510

int flag[MAXN],prime[MAXN],cnt;

inline void Pre()

{

    flag[1]=1;

    for (int i=2; i<=sqrt(500); i++)

    {

        if (!flag[i]) prime[++cnt]=i;

        for (int j=1; j<=cnt&&i*prime[j]<=sqrt(500); j++)

            {

                flag[i*prime[j]]=1;

                if (!(i%prime[j])) break;

            }

    }

//    for (int i=1; i<=cnt; i++) printf("%d ",prime[i]); puts("");

}

struct Node{int p1,p2;}a[MAXN];

inline bool cmp(Node A,Node B) {return A.p2==B.p2? A.p1<B.p1:A.p2<B.p2;}

int dp[1<<8][1<<8],tmp[2][1<<8][1<<8],N,ans,P;

int main()

{

    Pre();

    scanf("%d%d",&N,&P);

    for (int i=2; i<=N; i++)

        {

            int x=i;

            for (int j=1; j<=cnt; j++)

                {

                    if (!(x%prime[j]))

                        a[i-1].p1|=(1<<(j-1));

                    while (!(x%prime[j])) x/=prime[j];

                }

            if (x>sqrt(500)) a[i-1].p2=x; else a[i-1].p2=0;

        }

    sort(a+1,a+N-1+1,cmp);

    dp[0][0]=1;

    int last=1;

    for (int i=1; i<=N-1; last++,i++)

        {

            if (a[i].p2) break;

            memcpy(tmp[0],dp,sizeof(tmp[0])); memcpy(tmp[1],dp,sizeof(tmp[1]));

            for (int j=(1<<8)-1; j>=0; j--)

                for (int k=(1<<8)-1; k>=0; k--)

                    {

                        if (!(k&a[i].p1))

                            (tmp[0][j|a[i].p1][k]+=tmp[0][j][k])%=P;

                        if (!(j&a[i].p1))

                            (tmp[1][j][k|a[i].p1]+=tmp[1][j][k])%=P;

                    }

            for (int j=0; j<(1<<8); j++)

                for (int k=0; k<(1<<8); k++)

                    dp[j][k]=((tmp[0][j][k]+tmp[1][j][k]-dp[j][k])%P+P)%P;

        }

    while (last<N)

        {

            memcpy(tmp[0],dp,sizeof(tmp[0])); memcpy(tmp[1],dp,sizeof(tmp[1]));

            for (int i=last; i<=N-1; last++,i++)

                {

                    for (int j=(1<<8)-1; j>=0; j--)

                        for (int k=(1<<8)-1; k>=0; k--)

                            {

                                if (!(k&a[i].p1))

                                    (tmp[0][j|a[i].p1][k]+=tmp[0][j][k])%=P;

                                if (!(j&a[i].p1))

                                    (tmp[1][j][k|a[i].p1]+=tmp[1][j][k])%=P;

                            }

                    if (a[i].p2!=a[i+1].p2) break;

                }

            last++;

            for (int j=0; j<(1<<8); j++)

                for (int k=0; k<(1<<8); k++)

                    dp[j][k]=((tmp[0][j][k]+tmp[1][j][k]-dp[j][k])%P+P)%P;

        }

    for (int j=0; j<(1<<8); j++)

        for (int k=0; k<(1<<8); k++)

            if (!(j&k)) (ans+=dp[j][k])%=P;

    printf("%d\n",ans);

    return 0;

}

寿司