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1 均方差损失函数：MSE¶

均方误差（Mean Square Error），应该是最常用的误差计算方法了，数学公式为： $$loss = \frac{1}{N}\sum {{{(y - pred)}^2}} $$

其中，$y$是真实值，$pred$是预测值，$N$通常指的是batch_size，也有时候是指特征属性个数。

In [1]:

import tensorflow as tf
y = tf.random.uniform((5,),maxval=5,dtype=tf.int32)  # 假设这是真实值
print(y)

y = tf.one_hot(y,depth=5)  # 转为热独编码
print(y)

tf.Tensor([2 4 4 0 2], shape=(5,), dtype=int32)
tf.Tensor(
[[0. 0. 1. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 1.]
 [0. 0. 0. 0. 1.]
 [1. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 1. 0. 0.]], shape=(5, 5), dtype=float32)

In [2]:

Out[2]:

<tf.Tensor: id=7, shape=(5, 5), dtype=float32, numpy=
array([[0., 0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 1.],
       [0., 0., 0., 0., 1.],
       [1., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0., 0.]], dtype=float32)>

In [3]:

pred = tf.random.uniform((5,),maxval=5,dtype=tf.int32)  # 假设这是预测值
pred = tf.one_hot(pred,depth=5)  # 转为热独编码
print(pred)

tf.Tensor(
[[0. 1. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 1. 0.]
 [1. 0. 0. 0. 0.]
 [0. 0. 0. 1. 0.]
 [0. 0. 0. 0. 1.]], shape=(5, 5), dtype=float32)

In [4]:

loss1 = tf.reduce_mean(tf.square(y-pred))
loss1

Out[4]:

<tf.Tensor: id=19, shape=(), dtype=float32, numpy=0.4>

在tensorflow的losses模块中，提供能MSE方法用于求均方误差，注意简写MSE指的是一个方法，全写MeanSquaredError指的是一个类，通常通过方法的形式调用MSE使用这一功能。 MSE方法返回的是每一对真实值和预测值之间的误差，若要求所有样本的误差需要进一步求平均值：

In [5]:

loss_mse_1 = tf.losses.MSE(y,pred)
loss_mse_1

Out[5]:

<tf.Tensor: id=22, shape=(5,), dtype=float32, numpy=array([0.4, 0.4, 0.4, 0.4, 0.4], dtype=float32)>

In [6]:

loss_mse_2 = tf.reduce_mean(loss_mse_1)
loss_mse_2

Out[6]:

<tf.Tensor: id=24, shape=(), dtype=float32, numpy=0.4>

一般而言，均方误差损失函数比较适用于回归问题中，对于分类问题，特别是目标输出为One-hot向量的分类任务中，下面要说的交叉熵损失函数就要合适的多。

2 交叉熵损失函数¶

交叉熵（Cross Entropy）是信息论中一个重要概念，主要用于度量两个概率分布间的差异性信息，交叉熵越小，两者之间差异越小,当交叉熵等于0时达到最佳状态，也即是预测值与真实值完全吻合。先给出交叉熵计算公式：

$$H(p,q) = - \sum\limits_i {p(x)\log q(x)} $$

其中，$p(x)$是真实分布的概率，$q(x)$是模型通过数据计算出来的概率估计。

不理解？没关系，我们通过一个例子来说明。假设对于一个分类问题，其可能结果有5类，由$[1,2,3,4,5]$表示，有一个样本$x$，其真实结果是属于第2类，用One-hot编码表示就是$[0,1,0,0,0]$，也就是上面公司中的$p(x)$。现在有两个模型，对样本$x$的预测结果分别是$[0.1, 0.7, 0.05, 0.05, 0.1]$ 和 $[0, 0.6, 0.2, 0.1, 0.1]$，也就是上面公式中的$q(x)$。从直觉上判断，我们会认为第一个模型预测要准确一些，因为它更加肯定$x$属于第二类，不过，我们需要通过科学的量化分析对比来证明这一点：

第一个模型交叉熵：${H_1} = - (0 \times \log 0.1 + 1 \times \log 0.7 + 0 \times \log 0.05 + 0 \times \log 0.05 + 0 \times \log 0.01) = - \log 0.7 = 0.36$

第二个模型交叉熵：${H_2} = - (0 \times \log 0 + 1 \times \log 0.6 + 0 \times \log 0.2 + 0 \times \log 0.1 + 0 \times \log 0.1) = - \log 0.6 = 0.51$

可见，${H_1} < {H_2}$，所以第一个模型的结果更加可靠。

在TensorFlow中，计算交叉熵通过tf.losses模块中的categorical_crossentropy()方法。

In [7]:

tf.losses.categorical_crossentropy([0,1,0,0,0],[0.1, 0.7, 0.05, 0.05, 0.1])

Out[7]:

<tf.Tensor: id=41, shape=(), dtype=float32, numpy=0.35667497>

In [8]:

tf.losses.categorical_crossentropy([0,1,0,0,0],[0, 0.6, 0.2, 0.1, 0.1])

Out[8]:

<tf.Tensor: id=58, shape=(), dtype=float32, numpy=0.5108256>

模型在最后一层隐含层的输出可能并不是概率的形式，不过可以通过softmax函数转换为概率形式输出，然后计算交叉熵，但有时候可能会出现不稳定的情况，即输出结果是NAN或者inf，这种情况下可以通过直接计算隐藏层输出结果的交叉熵，不过要给categorical_crossentropy()方法传递一个from_logits=True参数。

In [9]:

x = tf.random.normal([1,784])
w = tf.random.normal([784,2])
b = tf.zeros([2])

In [10]:

logits = x@w + b  # 最后一层没有激活函数的层称为logits层
logits

Out[10]:

<tf.Tensor: id=75, shape=(1, 2), dtype=float32, numpy=array([[ 5.236802, 18.843138]], dtype=float32)>

In [12]:

prob = tf.math.softmax(logits, axis=1)  # 转换为概率的形式
prob

Out[12]:

<tf.Tensor: id=77, shape=(1, 2), dtype=float32, numpy=array([[1.2326591e-06, 9.9999881e-01]], dtype=float32)>

In [13]:

tf.losses.categorical_crossentropy([0,1],logits,from_logits=True)  # 通过logits层直接计算交叉熵

Out[13]:

<tf.Tensor: id=112, shape=(1,), dtype=float32, numpy=array([1.1920922e-06], dtype=float32)>

In [14]:

tf.losses.categorical_crossentropy([0,1],prob)  # 通过转换后的概率计算交叉熵

Out[14]:

<tf.Tensor: id=128, shape=(1,), dtype=float32, numpy=array([1.1920936e-06], dtype=float32)>

奥辰

TensorFlow2.0（8）：误差计算——损失函数总结

1 均方差损失函数：MSE¶

2 交叉熵损失函数¶