题意
给一棵 complete binary tree，数数看一共有多少个结点。做题链接
直观做法：递归
var countNodes = function(root) {
if(root===null) return 0;
return 1+countNodes(root.left)+countNodes(root.right);
};老实说，一道难度为 medium 的题目，这么几秒钟的时间就做出来，我心中有一种不真实感。
所以，我看了一下 discuss 区其他人的解法，看是不是我自己想的不够深入。
结果发现，我这个做法没错，就是时间复杂度不够优化，如果这道题要真正成为一道难度为medium的题目，需要限制时间复杂度。
下面是一种据说是 O(log(n)^2) 的解法，很聪明，根据不同树结构选择计算左树结点数或右树节点数，可以省去访问大部分结点的时间。
优化做法：计算树高，观察树结构
var countNodes = function(root) {
let h = height(root);
return h === 0 ? 0 :
height(root.right)=== h-1 ? (1 << (h-1)) + countNodes(root.right) :(1 << (h-2)) + countNodes(root.left) ;
};
function height(root){
return root === null? 0 : 1+height(root.left);
}
首先，height 函数，没啥好说的，跟普通的计算树高度函数不同点在于，充分利用了 complete binary tree 的特点，更加省事。
其次，要理解根据 root 的高度 和 右子树高度的不同情况的选择。
情况一：
height(root) === 0
这个情况没啥好说的，就是边界情况，啥结点都没有，返回0；
情况二：
height(root.right) === h-1
这个情况就是下面图这种情况，右子树至少最左边有一个结点（这个结点把右子树的高度撑到 h-1）：
这种情况下，左子树是完整的，它的节点数是 2^(h-1)-1 ，加上根结点，等于 2^(h-1) ，也就是 1 << (h-1) （图中绿色结点总数）。
情况三：
height(root.right) === h-2
这种情况就是右子树最后一层没有任何结点，左子树至少最后一层最左边有一个结点：
这种情况下，右子树是完整的，它的节点数是 2^(h-2)-1 ，加上根结点，等于 2^(h-2) ，也就是 1<<(h-2) （图中绿色结点总数）。
再次优化：用遍历取代递归
直接遍历所有的节点，可以省下反复计算 height 的不必要的时间。
因为很明显，子树的高度 跟 父树的高度 息息相关。如果通过递归，下一次还得重新计算高度值；而用遍历，直接 h--; 就得到子树高度值。（当然你也可以在递归函数中把高度当成参数传递进去，但是不够简洁，没必要）
var countNodes = function(root) {
let h = height(root), nodes = 0;
while(root!==null){
if(height(root.right)===h-1){
nodes += 1 << (h-1);
root = root.right;
}
else{
nodes += 1 << (h-2);
root = root.left;
}
h--;
}
return nodes;
};
function height(root){
return root===null? 0 : 1+height(root.left);
}第一种简单方法的优化
最开始我用了一种最简单的方法：
var countNodes = function(root) {
if(root===null) return 0;
return 1+countNodes(root.left)+countNodes(root.right);
};在 LeetCode 的 discuss 区看到 一种优化方法：
var countNodes = function(root) {
if(root===null) return 0;
let left = root.left, right = root.right, height = 1;
while(right !== null){
left = left.left;
right = right.right;
height++;
}
if(left === null) return (1 << height)-1;
return 1 + countNodes(root.left) + countNodes(root.right);
};这种方法其实也是利用了 Complete Binary Tree 的特点，如果一棵树是完整的（就是它所有树叶都处于同一层），那么在 右子树 为 null 之前， left = left.left; right = right.right; 最左最右两个分枝同时向下延伸，最后一定同时抵达树叶。
这种方法的优化之处在于，当遇到的子树的所有树叶都位于同一层时，它会直接返回该子树的结点数。像下面这样的树，当遇到结点 3， 5， 8 时，不会再调用函数递归，而是直接计算出整颗子树的结点数 (1 << height) - 1 。
总结
要了解数据结构的特点，并且充分利用这些特点来省事。
PS：上面全部代码为 JavaScript