LL谱面分析和难度标定
先介绍一下LL谱面的存储方式：TimeLine序列（简称TL序列），TL序列中的每一个元素（即音符）可以由一个C语言中的结构体来表示：
struct note{
int line; //音符位置
double time; //音符按下时间
double elapseTime; //音符从按下到抬起经过的时间，只有L型音符该项不为零
};
用比较数学化的表示方法来表示一下TL序列的各个属性：
我们将\(p_N\)
分为两部分：左手部分
\(p_I=\lbrace p_{i}\mid i\in\mathbf{I}\rbrace\)
和右手部分
\(p_J=\lbrace p_{j}\mid j\in\mathbf{J}\rbrace\)
，其中
\(\mathbf{I}=\lbrace i \mid i \in \mathbf{N} \land p_i \lt 5 \rbrace\)
，
\(\mathbf{J}=\lbrace j \mid j \in \mathbf{N} \land p_j \ge 5 \rbrace\)
。
与之对应，将\(t_N\)
也分为两部分：
\(t_I=\lbrace t_{i}\mid i\in\mathbf{I}\rbrace\)
和
\(t_J=\lbrace t_{j}\mid j\in\mathbf{J}\rbrace\)
。
不过这样得到的左手部分和右手部分有一定毛病，因为不一定每一个5号位Note都得用右手去打。以后会有更科学的定义（现在还没想好，憋打我！）。
有了\(p_I\)、\(p_J\)、\(t_I\)和\(t_J\)，就可以初步定义一个衡量难度的函数了。
先考虑双指玩家（双指玩家即在游戏过程中仅使用两根手指的玩家，包括拇指党、食指党等等），则在游戏过程中玩家需不断转移手指，游戏的难度即与手指的转移速度、加速度等因素有关。
下图为小编实测的Live界面的各项参数（整数为像素，分数为比例形式），原谅我懒得在图里面打字……
这里我们要推导出的难度公式是与设备无关的，这样才能使每一个谱面的难度值唯一。
设\(\Delta p_I\)和\(\Delta p_J\)分别为\(p_I\)和\(p_J\)的一阶差分，空闲时序列\(\Delta t_I\)和\(\Delta t_J\)为\(t_I\)和\(t_J\)的一阶差分，则
于是玩家左手在时刻\(t\)的速度可定义为：
$$
\left. v_l \right|_t =
\begin{cases}
\frac{\Delta p_i}{\Delta t_i}, & i>1,i \in \mathbf{I} \\
0, & i=1
\end{cases}
$$
其中\(t_i\)为\(t_I\)中的不大于\(t\)的最大值。
加速度近似为：
$$
\left. a_l \right|_t =
\begin{cases}
\frac{\Delta^2 p_i}{\Delta t_i^2}, & i>2,i \in \mathbf{I} \\
0, &i=1 \mbox{ or } i=2
\end{cases}
$$
其中\(\Delta^2 l_I\)是\(l_I\)的二阶差分。
定义左手难度函数：
$$
D_l(t)=c_v \left. v_l \right|_t+c_a \left. a _l\right|_t
$$
相似地定义右手难度函数：
$$
D_r(t)=c_v \left. v_r \right|_t+c_a \left. a _r\right|_t
$$
其中\(c_v\)和\(c_a\)分别为两个常数，控制速度和加速度在难度中的权重。
我们知道玩家在Live时是先看好未来的几个圈的位置再做出决定的，也就是说，未来的几个圈的分布会对读谱难度产生影响。
定义谱面下落速度\(v_d\)为一个音符从中心运动到目标位置所需时间\(t_d\)的倒数。
玩家所能看见的未来的几个Note的时刻构成的集合为\(\mathbf{T}_s=\lbrace t_n \mid 0 \lt t_n-t \le t_d \rbrace\)，当然太小的note和离手太近的note玩家会很少注意，所以不同位置note对读谱难度影响不同。定义一个函数\(d_n(t)\)，表示即将到来的序号为n的note对当前读谱难度的加成。则可以定性给出：
$$
d_n(t)=
\begin{cases}
c_d, & 0 \le t_n-t \lt t_s \\
2c_d, & t_s \le t_n-t \lt t_d \\
0, & \mbox{others}
\end{cases}
$$
其中\(x=\frac{t-t_n+t_d}{t_d}\)，\(c_d\)为常数，\(t_s\)为玩家反应时间，一般可取\(t_s=0.1s\)。
可以定义这样的一个瞬时难度函数：
$$
D(t)=D_l(t)+D_r(t)+\sum_{t_n \in \mathbf{T}_s} d_n(t)
$$
它可以比较科学地确定游戏过程中某个时刻的难度。
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