给你一个数 \(n\)，求有多少种方案能把 \(n\) 分成两个非零回文数 \((a,b)\) 之和。
两个方案不同当且仅当 \(a_1\neq a_2\)。
\(n\leq {10}^{18}\)
题解
枚举那些位进了位，然后分两种情况讨论：
1.两个回文数位数相等。可以直接计算方案数。
2.两个回文数位数不相等。可以枚举位数，构造方程，然后解出来。例如，记第一个回文数为 \((a_4a_3a_2a_1)_{10}\)，第二个回文数为 \((b_3b_2b_1)_{10}\)，\(n=(c_4c_3c_2c_1)_{10}\)。构造的方程为：
\[\begin{cases}
a_4&=c_4\\
a_3+b_3&=c_3\\
a_2+b_2&=c_2\\
a_1+b_1&=c_1\\
a_4&=a_1\\
a_3&=a_2\\
b_3&=b_1\\
\end{cases}
\]
a_4&=c_4\\
a_3+b_3&=c_3\\
a_2+b_2&=c_2\\
a_1+b_1&=c_1\\
a_4&=a_1\\
a_3&=a_2\\
b_3&=b_1\\
\end{cases}
\]
记 \(m=\log_{10}n\)。
复杂度为 \(O(m^22^m)\)
如果你只枚举前面 \(\frac{m}{2}\) 位是否进位，可以做到 \(O(m^22^{\frac{m}{2}})\)
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<assert.h>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
using std::vector;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
void open2(const char *s){
#ifdef DEBUG
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
ll ans;
int t,t2;
int a[100];
int b[100];
ll n;
void gao1()
{
for(int i=1;i<=t2;i++)
if(b[i]!=b[t2-i+1])
return;
ll res=1;
for(int i=1;i<=(t2+1)/2;i++)
res*=min(9,(i==1?b[i]-1:b[i]))-max(b[i]-9,(i==1?1:0))+1;
ans+=res;
}
int a1[100],a2[100];
void gao2()
{
for(int i=1;i<t2;i++)
{
for(int j=1;j<=t2;j++)
a1[j]=a2[j]=0;
for(int j=t2;j>i;j--)
if(!a1[j])
{
int x=j;
int v=b[j];
while(!a1[x])
{
a1[x]=v;
x=t2-x+1;
a1[x]=v;
if(a2[x])
break;
if(x>i)
break;
a2[x]=v=b[x]-a1[x];
x=i-x+1;
a2[x]=v;
v=b[x]-a2[x];
}
}
int flag=1;
for(int j=1;flag&&j<=t2;j++)
if(a1[j]<0||a1[j]>9||a1[j]+a2[j]!=b[j]||a1[t2-j+1]!=a1[j])
flag=0;
for(int j=1;flag&&j<=i;j++)
if(a2[j]<0||a2[j]>9||a2[j]!=a2[i-j+1])
flag=0;
if(a2[i]==0)
flag=0;
if(flag)
ans+=2;
}
}
int main()
{
open("number");
scanf("%lld",&n);
ll m=n;
while(m)
{
a[++t]=m%10;
m/=10;
}
for(int i=0;i<1<<(t-1);i++)
{
for(int j=1;j<=t;j++)
b[j]=a[j];
for(int j=1;j<=t;j++)
if((i>>(j-1))&1)
{
b[j]+=10;
b[j+1]--;
}
int flag=1;
for(int j=1;j<=t;j++)
if(b[j]<0||b[j]>18)
{
flag=0;
break;
}
if(!flag)
continue;
t2=t;
while(!b[t2])
t2--;
gao1();
gao2();
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}