线性模型之对数几率回归

广义线性模型：$y=g^{-1}(w^Tx+b)$

$g^{-1}(x)$，单调可微函数

如果用线性模型完成分类任务如何做?

根据线性模型可知，找到一个单调可微函数将分类任务的真实标记$y_i$与线性模型的预测值联系起来即可。

广义线性模型对样本要求不必要服从正态分布、只需要服从指数分布簇(二项
分布、泊松分布、伯努利分布、指数分布等)即可；广义线性模型的自变量可
以是连续的也可以是离散的.

logistic回归

logistic/sigmoid函数：

$p=h_\theta(x)=g(\theta^Tx+b)=\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx+b}}$
$ln\frac{y}{1-y} = \theta^Tx+b$
- $ln\frac{y}{1-y}$：对数几率，将预测的结果逼近真实标记的对数几率
$g^`(z)=g(z)(1-g(z))$

将y视为类后验概率估计$h_\theta(x)=P(y=1|x)$，则：

$P(y=1|x;\theta)=(h_\theta(x))$
$P(y=0|x;\theta)=1-(h_\theta(x))$
$P(y|x;\theta)=(h_\theta(x))^y(1-h_\theta(x))^{1-y}$

第一步：似然函数:

$L(\theta)=\prod_{i=1}^mp(y^{(i)}|x^{(i)};\theta)=\prod_{i=1}^m(h_\theta(x^{(i)}))^{y^{(i)}}(1-h_\theta(x^{(i)}))^{1-y^{(i)}}$

第二步：取对数似然函数：

$l(\theta)=L(\theta)=\sum^m_{i=1}(y^{(i)}logh_\theta(x^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-h_\theta(x^{(i)})))$

Logistic损失函数：$-l(\theta)=\sum^m_{i=1}(-y^{(i)}ln(h_\theta(x^{(i)}))-(1-y^{(i)})ln((1-h_\theta(x^{(i)}))))$$

第三步：对属于j类别$\theta$求导：

$\frac{\partial l(\theta)}{\partial \theta_j} =\sum^m_{i=1}(\frac{y^{(i)}}{g(\theta^Tx^{(i)})}-\frac{1-y^{(i)}}{1-g(\theta^Tx^{(i)})})\cdot g(\theta^Tx^{(i)})(1-g(\theta^Tx^{(i)}))\cdot\frac{\partial \theta^Tx^{(i)}}{\partial \theta_j}$
=$\sum^m_{i=1}(y^{(i)}(1-g(\theta^Tx^{(i)}))-(1-y^{(i)})g(\theta^Tx^{(i)})\cdot x^{(i)}_j$
=$\sum^m_{i=1}(y^{(i)}-g(\theta^Tx^{(i)})\cdot x^{(i)}_j$

第四步：梯度求解

批量梯度下降：
- for j=1 to n:
  $\theta_j=\theta_j +\alpha\sum^m_{i=1}(y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))x_j^{(i)}$
随机梯度下降法（SGD）
- for j=1 to n:
  $\theta_j=\theta_j +\alpha(y^{(i)}-h_\theta(x^{(i)}))x_j^{(i)}$
- 与批量梯度下降法主要体现在权重不同


import numpy as np

# 假设空间函数：h(x)
def sigmoid (xArr):
    xMat = np.mat(xArr)
    return xMat.T * xMat

# 批量梯度下降法
# alpha：学习率 maxCycle：学习的迭代次数
def gradAscent (dataMatin,labels, alpha=0.1, maxCycle=100):

    dataMatrix= np.mat(dataMatin)
    labelsMatrix = np.mat(labels).T
    m,n = np.shape(dataMatrix)
    # 初始化权重
    weights = np.ones((n,1))
    for k in maxCycle:
        # error, dataMatrix 为m*n的矩阵
        error = labelsMatrix - sigmoid(dataMatrix *weights)
        weights = weights + alpha * dataMatrix.T * error
    return weight

# 随机梯度下降法
# alpha：学习率
def gradAscent (dataMatin,labels, alpha=0.1):

    dataMatrix= np.mat(dataMatin)
    labelsMatrix = np.mat(labels).T
    m,n = np.shape(dataMatrix)
    # 初始化权重
    weights = np.ones((n,1))
    # m为样本数
    for i in range(m):
        # error, dataMatrix 为m*n的矩阵
        error = labelsMatrix[i] - sigmoid(dataMatrix[i] * weights)
        weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i]
    return weights

softmax回归

softmax回归是logistic回归的一般化，适用于K分类的问题，第k类的参数为向量$θ_k$，组成的二维矩阵为$θ_{k*n}$
softmax函数的本质就是将一个K维的任意实数向量压缩（映射）成另一个K维的实数向量，其中向量中的每个元素取值都介于（0，1）之间。
logistics回归概率函数：
- $p(y=1|x;\theta)=\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}$
softmax回归概率函数：
- $p(y=k|x;\theta)=\frac{e^{\theta^T_kx}}{\sum_{j=1}^{k}e^{-\theta^T_jx}} \quad k=1,2.\dots,K$
softmax假设函数：
softmax损失函数：
- $J(\theta)=-\frac{1}{m}\sum^m_(i=1)\sum^k_(j=1)I(y^{(i)}=j)ln(\frac{e^{\theta^T_jx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^{k}e^{-\theta^T_lx^{(i)}}})$
  - 解法同上：logistics回归的对数似然函数
- 函数$I(y^{(i)}=j)$：
  - $if(y^{(i)}=j): \quad I(y^{(i)}=j)=1 \quad else \quad I(y^{(i)}=j)=0$
  - 存在的意思：使不是j类别的样本损失为0，使似然函数最大化
对第i个样本的属于j类别$\theta$分量求导：（$0<i<m$，$1<j<k$）
- $\nabla_{\theta_j}J(\theta)=\nabla-I(y^{(i)}=j)ln(\frac{e^{\theta_j^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^Ke^{\theta_l^Tx^{(i)}}})$
- $ln(\frac{e^{\theta_j^Tx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^Ke^{\theta_l^Tx^{(i)}}}) = \theta_j^Tx^{(i)}-ln(\sum_{l=1}^Ke^{\theta_l^Tx^{(i)})}$
- $\nabla_{\theta_j}J(\theta)=-I(y^{(i)}=j)(1-\frac{e^{\theta^T_jx^{(i)}}}{\sum_{l=1}^{k}e^{-\theta^T_lx^{(i)}}})x^{(i)}$
第j类别$\theta$更新：
- 批量梯度下降
  - $\theta_j=\theta_j+\alpha \sum_{i=1}^{m}I(y^{(i)}=j)(1-p(y^{(i)}=j|x^{(i)};\theta))x^{(i)}$
- 随机梯度下降
  - $\theta_j=\theta_j+\alpha I(y^{(i)}=j)(1-p(y^{(i)}=j|x^{(i)};\theta))x^{(i)}$

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线性模型之对数几率回归

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logistic回归

softmax回归