【高等数学&学习记录】函数

【高等数学&学习记录】函数

1 知识点

1.1 函数

• 设数集 D ⊂ R D\subset R D⊂R，称映射 f : D → R f:D\rightarrow R f:D→R，为定义在 D D D上的函数，简记为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)， x ∈ D x\in D x∈D。
• x x x称为自变量。
• y y y称为因变量。
• D D D称为定义域，记作 D f D_f Df​。
• y y y的全体所构成的集合称为函数 f f f的值域，记作 R f R_f Rf​或 f ( D ) f(D) f(D)。

1.2 函数的特性

1.2.1 有界性

• 设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D D D，数集 X ⊂ D X\subset D X⊂D。
• 如果存在数 K 1 K_1 K1​，使得 f ( x ) ≤ K 1 f(x)\leq K_1 f(x)≤K1​对任一 x ∈ X x\in X x∈X都成立，则称函数 f ( x ) f(x) f(x)在 X X X上有上界。
• 如果存在数 K 2 K_2 K2​，使得 f ( x ) ≥ K 2 f(x)\geq K_2 f(x)≥K2​对任一 x ∈ X x\in X x∈X都成立，则称函数 f ( x ) f(x) f(x)在 X X X上有下界。
• 如果存在正数 M M M，使得 ∣ f ( x ) ∣ ≤ M \begin{vmatrix} f(x)\end{vmatrix}\leq M ​f(x)​ ​≤M对任一 x ∈ X x\in X x∈X都成立，则称函数 f ( x ) f(x) f(x)在 X X X上有界；如果这样的 M M M不存在，则称函数 f ( x ) f(x) f(x)在 X X X上无界。

1.2.2 单调性

• 设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D D D，区间 I ⊂ D I\subset D I⊂D。设区间 I I I上任意两点 x 1 x_1 x1​、 x 2 x_2 x2​：
• 当 x 1 < x 2 x_1 < x_2 x1​<x2​时，恒有 f ( x 1 ) < f ( x 2 ) f(x_1)<f(x_2) f(x1​)<f(x2​)，称函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上单调增加；
• 当 x 1 < x 2 x_1 < x_2 x1​<x2​时，恒有 f ( x 1 ) > f ( x 2 ) f(x_1)>f(x_2) f(x1​)>f(x2​)，称函数 f ( x ) f(x) f(x)在区间 I I I上单调减少。
• 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。

1.2.3 奇偶性

• 设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域 D D D关于原点对称。
• 对于任一 x ∈ D x\in D x∈D， f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) f(−x)=f(x)恒成立时，称 f ( x ) f(x) f(x)为偶函数。
• 对于任一 x ∈ D x\in D x∈D， f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f(−x)=−f(x)恒成立时，称 f ( x ) f(x) f(x)为奇函数。

1.2.4 周期性

• 设函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 D D D，如果存在一个正数 l l l，使得对于任一 x ∈ D x\in D x∈D有 ( x ± l ) ∈ D (x\pm l)\in D (x±l)∈D，且 f ( x + l ) = f ( x ) f(x+l)=f(x) f(x+l)=f(x)恒成立时，称 f ( x ) f(x) f(x)为周期函数， l l l称为 f ( x ) f(x) f(x)的周期。
• 通常说的周期函数的周期是指最小正周期。

1.3 反函数

• 设函数 f : D → f ( D ) f:D\rightarrow f(D) f:D→f(D)是单射，则它存在逆映射 f − 1 : f ( D ) → D f^{-1}:f(D)\rightarrow D f−1:f(D)→D，称此映射 f − 1 f^{-1} f−1为函数 f f f的反函数。

1.4 复合函数

• 设函数 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)的定义域为 D f D_f Df​，函数 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)的定义域为 D g D_g Dg​，且其值域 R g ⊂ R f R_g\subset R_f Rg​⊂Rf​。
• 则函数 y = f [ g ( x ) ] y=f[g(x)] y=f[g(x)]( x ∈ D g x\in D_g x∈Dg​)称为由函数 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x)与函数 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)构成的复合函数。
• 它的定义域为 D g D_g Dg​，变量 u u u称为中间变量。

1.5 函数的运算

• 设函数 f ( x ) f(x) f(x)， g ( x ) g(x) g(x)的定义域以此为 D 1 D_1 D1​， D 2 D_2 D2​， D = D 1 ∩ D 2 ≠ ϕ D=D_1\cap D_2\neq \phi D=D1​∩D2​=ϕ，则我们可以定义这两个函数的下列运算：
• 和（差）
  ( f ± g ) ( x ) = f ( x ) ± g ( x ) (f\pm g)(x) = f(x)\pm g(x) (f±g)(x)=f(x)±g(x)， x ∈ D x\in D x∈D
• 积
  ( f ⋅ g ) ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x) (f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)， x ∈ D x\in D x∈D
• 商
  ( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) (\frac{f}{g})(x)=\frac{f(x)}{g(x)} (gf​)(x)=g(x)f(x)​， x ∈ D ∖ { x ∣ g ( x ) = 0 , x ∈ D } x\in D \setminus\lbrace x|g(x)=0, x\in D\rbrace x∈D∖{x∣g(x)=0,x∈D}

1.6 基本初等函数

1.6.1 幂函数

• y = x a y=x^a y=xa（ a ∈ R a\in R a∈R是常数）
• 如图： a = 5 , − 10 ≤ x ≤ 10 a=5, -10\leq x\leq 10 a=5,−10≤x≤10
  

1.6.2 指数函数

• y = a x y=a^x y=ax（ a > 0 a > 0 a>0 且 a ≠ 1 a\neq 1 a=1，是常数）
• 如图： a = 5 a=5 a=5
  

1.6.3 对数函数

• y = l o g a x y=log_a^x y=logax​（ a > 0 a>0 a>0且 a ≠ 1 a\neq 1 a=1，是常数；当 a = e a=e a=e时，记为 y = l n x y=lnx y=lnx）
• 如图： a = 5 , 0.05 < x < 100 a = 5, 0.05 < x < 100 a=5,0.05<x<100
  

1.6.4 三角函数

• 如 y = s i n ( x ) , y = c o s ( x ) , y = t a n ( x ) y=sin(x),y=cos(x),y=tan(x) y=sin(x),y=cos(x),y=tan(x)等
• 如图： y = s i n ( x ) , − 10 < x < 10 y=sin(x), -10 < x < 10 y=sin(x),−10<x<10
  

1.6.5 反三角函数

• 如 y = a r c s i n ( x ) , y = a r c c o s ( x ) , y = a r c t a n ( x ) y=arcsin(x),y=arccos(x),y=arctan(x) y=arcsin(x),y=arccos(x),y=arctan(x)等
• 如图： y = a r c t a n ( x ) , − 100 < x < 100 y=arctan(x),-100<x<100 y=arctan(x),−100<x<100
  

1.7 初等函数

• 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。如： y = 1 − x 2 y=\sqrt{1-x^2} y=1−x2 ​、 y = c o t x 2 y=\sqrt{cot\frac{x}{2}} y=cot2x​ ​等。

2 练习题

2.1

• 【题目】
  求下列函数的自然定义域。
• 【解答】
  (1) y = 3 x + 2 y=\sqrt{3x+2} y=3x+2 ​
  由 3 x + 2 ≥ 0 3x+2\geq 0 3x+2≥0，得定义域为 { x ∣ x ≥ − 2 3 } \lbrace x|x\geq -\frac{2}{3}\rbrace {x∣x≥−32​}
  
  (2) y = 1 1 − x 2 y=\frac{1}{1-x^2} y=1−x21​
  由 1 − x 2 ≠ 0 1-x^2\neq 0 1−x2=0，得定义域为 { x ∣ x ≠ ± 1 } \lbrace x|x\neq \pm 1\rbrace {x∣x=±1}
  
  (3) y = 1 x − 1 − x 2 y=\frac{1}{x}-\sqrt{1-x^2} y=x1​−1−x2 ​
  由 { x ≠ 0 1 − x 2 ≥ 0 \begin{cases} x\neq 0 \\ 1 - x^2 \geq 0\end{cases} {x=01−x2≥0​，得定义域为 { x ∣ − 1 ≤ x ≤ 1 且 x ≠ 0 } \lbrace x| -1\leq x \leq 1 且 x\neq 0\rbrace {x∣−1≤x≤1且x=0}
  
  (4) y = 1 4 − x 2 y=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}} y=4−x2 ​1​
  由 4 − x 2 > 0 4-x^2 > 0 4−x2>0，得定义域为 { x ∣ − 2 < x < 2 } \lbrace x| -2 < x < 2\rbrace {x∣−2<x<2}
  
  (5) y = s i n x y=sin\sqrt{x} y=sinx ​
  定义域为 { x ∣ x ≥ 0 } \lbrace x| x\geq 0\rbrace {x∣x≥0}
  
  (6) y = t a n ( x + 1 ) y=tan(x+1) y=tan(x+1)
  由 x + 1 ≠ k π + π 2 , k ∈ Z x+1\neq k\pi+ \frac{\pi}{2},k\in Z x+1=kπ+2π​,k∈Z，得定义域为 x ≠ k π + π 2 − 1 , k ∈ Z x\neq k\pi+ \frac{\pi}{2}-1,k\in Z x=kπ+2π​−1,k∈Z
  
  (7) y = a r c s i n ( x − 3 ) y=arcsin(x-3) y=arcsin(x−3)
  由 ∣ x − 3 ∣ ≤ 1 \begin{vmatrix}x-3 \end{vmatrix}\leq 1 ​x−3​ ​≤1，得定义域为 { x ∣ 2 ≤ x ≤ 4 } \lbrace x|2\leq x\leq 4 \rbrace {x∣2≤x≤4}
  
  (8) y = 3 − x + a r c t a n 1 x y=\sqrt{3-x}+arctan\frac{1}{x} y=3−x ​+arctanx1​
  由 { 3 − x ≥ 0 x ≠ 0 \begin{cases} 3-x \geq 0 \\ x\neq 0 \end{cases} {3−x≥0x=0​， 得定义域为 { x ∣ x ≤ 3 且 x ≠ 0 } \lbrace x| x \leq 3 且 x\neq 0\rbrace {x∣x≤3且x=0}
  
  (9) y = l n ( x + 1 ) y=ln(x+1) y=ln(x+1)
  由 x + 1 > 0 x+1>0 x+1>0，得定义域为 { x ∣ x > − 1 } \lbrace x| x>-1\rbrace {x∣x>−1}
  
  (10) y = e 1 x y=e^{\frac{1}{x}} y=ex1​
  定义域为 { x ∣ x ≠ 0 } \lbrace x|x\neq 0 \rbrace {x∣x=0}

2.2

• 【题目】
  下列各题中，函数 f ( x ) f(x) f(x)和 g ( x ) g(x) g(x)是否相同？为什么？
• 【解答】
  定义域和对应法则均相同的函数，相同；否则，函数不同。据此：
  (1) f ( x ) = l g   x 2 f(x)=lg\, x^2 f(x)=lgx2， g ( x ) = 2 l o g   x g(x)=2log\, x g(x)=2logx
  不同。
  定义域不同： f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 x ≠ 0 x\neq 0 x=0， g ( x ) g(x) g(x)的定义域为 { x ∣ x > 0 } \lbrace x|x>0\rbrace {x∣x>0}。
  
  (2) f ( x ) = x f(x)=x f(x)=x， g ( x ) = x 2 g(x)=\sqrt{x^2} g(x)=x2 ​
  不同。
  对应法则不同： f ( x ) = x f(x)=x f(x)=x而 g ( x ) = ∣ x ∣ g(x)=\begin{vmatrix}x \end{vmatrix} g(x)= ​x​ ​。
  
  (3) f ( x ) = x 4 − x 3 3 f(x)=\sqrt[3]{x^4-x^3} f(x)=3x4−x3 ​， g ( x ) = x x − 1 3 g(x)=x\sqrt[3]{x-1} g(x)=x3x−1 ​
  相同。
  定义域和对应法则均相同。
  
  (4) f ( x ) = 1 f(x)=1 f(x)=1， g ( x ) = s e c 2 x − t a n 2 x g(x)=sec^2x-tan^2x g(x)=sec2x−tan2x
  不同。
  定义域不同： f ( x ) f(x) f(x)的定义域无限制， g ( x ) g(x) g(x)的定义域为 { x ∣ x ∈ R , x ≠ k π + π 2 ( k ∈ Z ) } \lbrace x|x\in R,x\neq k\pi + \frac{\pi}{2}(k\in Z)\rbrace {x∣x∈R,x=kπ+2π​(k∈Z)}。

2.3

• 【题目】
  设 ϕ ( x ) = { ∣ s i n x ∣ , ∣ x ∣ < π 3 0 , ∣ x ∣ ≥ π 3 \phi(x)=\begin{aligned}\begin{cases} \begin{vmatrix} sinx\end{vmatrix} , & \begin{vmatrix}x\end{vmatrix}<\frac{\pi}{3} \\ \quad 0, &\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}\geq \frac{\pi}{3}\end{cases} \end{aligned} ϕ(x)={ ​sinx​ ​,0,​ ​x​ ​<3π​ ​x​ ​≥3π​​​
  求 ϕ ( π 6 \phi(\frac{\pi}{6} ϕ(6π​), ϕ ( π 4 ) \phi(\frac{\pi}{4}) ϕ(4π​), ϕ ( − π 4 ) \phi(-\frac{\pi}{4}) ϕ(−4π​), ϕ ( − 2 ) \phi(-2) ϕ(−2)，并作出函数 y = ϕ ( x ) y=\phi(x) y=ϕ(x)的图形。
• 【解答】
  • ϕ ( π 6 ) = ∣ s i n ( π 6 ) ∣ = 1 2 \phi(\frac{\pi}{6})=\begin{vmatrix} sin(\frac{\pi}{6}) \end{vmatrix}=\frac{1}{2} ϕ(6π​)= ​sin(6π​)​ ​=21​
  • ϕ ( π 4 ) = ∣ s i n ( π 4 ) ∣ = 2 2 \phi(\frac{\pi}{4})=\begin{vmatrix} sin(\frac{\pi}{4})\end{vmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2} ϕ(4π​)= ​sin(4π​)​ ​=22 ​​
  • ϕ ( − π 4 ) = ∣ s i n ( − π 4 ) ∣ = 2 2 \phi(-\frac{\pi}{4})=\begin{vmatrix} sin(-\frac{\pi}{4})\end{vmatrix}=\frac{\sqrt{2}}{2} ϕ(−4π​)= ​sin(−4π​)​ ​=22 ​​
  • ϕ ( − 2 ) = 0 \phi(-2)=0 ϕ(−2)=0
    

2.4

• 【题目】
  试证下列函数在指定区间内的单调性。
• 【证明】
• (1) y = x 1 − x , ( − ∞ , 1 ) y=\frac{x}{1-x},(-\infty ,1) y=1−xx​,(−∞,1)
  • 设 − ∞ < x 1 < x 2 < 1 -\infty < x_1 < x_2 < 1 −∞<x1​<x2​<1
  • x 1 1 − x 1 − x 2 1 − x 2 = x 1 − x 2 ( 1 − x 1 ) ( 1 − x 2 ) < 0 \frac{x_1}{1-x_1}-\frac{x_2}{1-x_2}=\frac{x_1-x_2}{(1-x_1)(1-x_2)}<0 1−x1​x1​​−1−x2​x2​​=(1−x1​)(1−x2​)x1​−x2​​<0
  • 故其为单调递增函数。
• (2) y = x + l n   x , ( 0 , + ∞ ) y=x+ln\,x, (0,+\infty) y=x+lnx,(0,+∞)
  • 设 0 < x 1 < x 2 < + ∞ 0 < x_1 < x_2 < +\infty 0<x1​<x2​<+∞
  • x 1 + l n   x 1 − x 2 − l n   x 2 = ( x 1 − x 2 ) + ( l n   x 1 − l n   x 2 ) < 0 x_1+ln\,x_1-x_2-ln\,x_2 = (x_1-x_2)+(ln\, x_1-ln\,x_2)<0 x1​+lnx1​−x2​−lnx2​=(x1​−x2​)+(lnx1​−lnx2​)<0
  • 故其为单调递增函数。

2.5

• 【题目】
  设 f ( x ) f(x) f(x)为定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)内的奇函数，若 f ( x ) f(x) f(x)在 ( 0 , l ) (0,l) (0,l)内单调增加，证明 f ( x ) f(x) f(x)在 ( − l , 0 ) (-l,0) (−l,0)内也单调增加。
• 【证明】
  设 − l < x 1 < x 2 < 0 -l<x_1<x_2<0 −l<x1​<x2​<0，则 0 < − x 2 < − x 1 < l 0<-x_2<-x_1<l 0<−x2​<−x1​<l。
  ∵ f ( x ) \because f(x) ∵f(x)定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)内的奇函数
  ∴ f ( − x 1 ) = − f ( x 1 ) , f ( − x 2 ) = − f ( x 2 ) \therefore f(-x_1)=-f(x_1),f(-x_2)=-f(x_2) ∴f(−x1​)=−f(x1​),f(−x2​)=−f(x2​)
  ∵ f ( x ) \because f(x) ∵f(x)在 ( 0 , l ) (0,l) (0,l)内单调增加
  ∴ f ( − x 2 ) − f ( − x 1 ) = f ( x 1 ) − f ( x 2 ) < 0 \therefore f(-x_2)-f(-x_1)=f(x_1)-f(x_2)<0 ∴f(−x2​)−f(−x1​)=f(x1​)−f(x2​)<0
  ∴ f ( x ) \therefore f(x) ∴f(x)在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)内单调增加。

2.6

• 【题目】
  设下面所考虑的函数都是定义域在区间 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)上的。证明：
  (1) 两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；
  (2) 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
• 【证明1】
  • 设 ϕ ( x ) = f ( x ) + g ( x ) \phi(x) = f(x) + g(x) ϕ(x)=f(x)+g(x)
  • 设 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)均为定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)上的偶函数，则 ϕ ( − x ) = f ( − x ) + g ( − x ) = f ( x ) + g ( x ) = ϕ ( x ) \phi(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=\phi(x) ϕ(−x)=f(−x)+g(−x)=f(x)+g(x)=ϕ(x)，即 ϕ ( − x ) = ϕ ( x ) \phi(-x)=\phi(x) ϕ(−x)=ϕ(x)，得两个偶函数的和是偶函数。
  • 设 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)均为定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)上的奇函数，则 ϕ ( − x ) = f ( − x ) + g ( − x ) = − f ( x ) − g ( x ) = − ϕ ( x ) \phi(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-\phi(x) ϕ(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−ϕ(x)，即 ϕ ( − x ) = − ϕ ( x ) \phi(-x)=-\phi(x) ϕ(−x)=−ϕ(x)，得两个奇函数的和是奇函数。
• 【证明2】
  • 设 ϕ ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) \phi(x) = f(x)\cdot g(x) ϕ(x)=f(x)⋅g(x)
  • 设 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)均为定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)上的偶函数，则 ϕ ( − x ) = f ( − x ) ⋅ g ( − x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) = ϕ ( x ) \phi(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot g(x)=\phi(x) ϕ(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)⋅g(x)=ϕ(x)，即 ϕ ( − x ) = ϕ ( x ) \phi(-x)=\phi(x) ϕ(−x)=ϕ(x)，得两个偶函数的乘积是偶函数。
  • 设 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)均为定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)上的奇函数，则 ϕ ( − x ) = f ( − x ) ⋅ g ( − x ) = [ − f ( x ) ] ⋅ [ − g ( x ) ] = ϕ ( x ) \phi(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=[-f(x)]\cdot [-g(x)]=\phi(x) ϕ(−x)=f(−x)⋅g(−x)=[−f(x)]⋅[−g(x)]=ϕ(x)，即 ϕ ( − x ) = ϕ ( x ) \phi(-x)=\phi(x) ϕ(−x)=ϕ(x)，得两个奇函数的乘积是偶函数。
  • 设 f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)分别为定义在 ( − l , l ) (-l,l) (−l,l)上的偶函数、奇函数，则 ϕ ( − x ) = f ( − x ) ⋅ g ( − x ) = f ( x ) ⋅ [ − g ( x ) ] = − ϕ ( x ) \phi(-x)=f(-x)\cdot g(-x)=f(x)\cdot [-g(x)]=-\phi(x) ϕ(−x)=f(−x)⋅g(−x)=f(x)⋅[−g(x)]=−ϕ(x)，即 ϕ ( − x ) = − ϕ ( x ) \phi(-x)=-\phi(x) ϕ(−x)=−ϕ(x)，得偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

2.7

• 【题目】
  下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？
• 【解答】
  (1) y = x 2 ( 1 − x 2 ) y=x^2(1-x^2) y=x2(1−x2)
  首先， y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)定义域关于原点对称。
  ∵ f ( − x ) = ( − x ) 2 [ ( 1 − ( − x ) 2 ] = x 2 ( 1 − x 2 ) = f ( x ) \because f(-x)=(-x)^2[(1-(-x)^2]=x^2(1-x^2)=f(x) ∵f(−x)=(−x)2[(1−(−x)2]=x2(1−x2)=f(x)
  ∴ f ( − x ) = f ( x ) \therefore f(-x)=f(x) ∴f(−x)=f(x)
  ∴ \therefore ∴ 该函数为偶函数。
  
  (2) y = 3 x 2 − x 3 y=3x^2-x^3 y=3x2−x3
  首先， y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)定义域关于原点对称。
  ∵ f ( − x ) = 2 ( − x ) 2 − ( − x ) 3 = 2 x 2 + x 3 \because f(-x)=2(-x)^2-(-x)^3=2x^2+x^3 ∵f(−x)=2(−x)2−(−x)3=2x2+x3
  ∴ f ( − x ) ≠ f ( x ) \therefore f(-x)\neq f(x) ∴f(−x)=f(x)且 f ( − x ) ≠ − f ( x ) f(-x)\neq -f(x) f(−x)=−f(x)
  ∴ \therefore ∴ 该函数即非偶函数又非奇函数。
  
  (3) y = 1 − x 2 1 + x 2 y=\frac{1-x^2}{1+x^2} y=1+x21−x2​
  首先， y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)定义域关于原点对称。
  ∵ f ( − x ) = 1 − ( − x ) 2 1 + ( − x ) 2 = 1 − x 2 1 + x 2 = f ( x ) \because f(-x)=\frac{1-(-x)^2}{1+(-x)^2}=\frac{1-x^2}{1+x^2}=f(x) ∵f(−x)=1+(−x)21−(−x)2​=1+x21−x2​=f(x)
  ∴ f ( − x ) = f ( x ) \therefore f(-x)=f(x) ∴f(−x)=f(x)
  ∴ \therefore ∴该函数为偶函数。
  
  (4) y = x ( x − 1 ) ( x + 1 ) y=x (x-1)(x+1) y=x(x−1)(x+1)
  首先， y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)关于原点对称。
  ∵ f ( − x ) = ( − x ) ( − x − 1 ) ( − x + 1 ) = x ( x + 1 ) ( 1 − x ) = − x ( x − 1 ) ( x + 1 ) = − f ( x ) \because f(-x)=(-x)(-x-1)(-x+1)=x(x+1)(1-x)=-x(x-1)(x+1)=-f(x) ∵f(−x)=(−x)(−x−1)(−x+1)=x(x+1)(1−x)=−x(x−1)(x+1)=−f(x)
  ∴ f ( − x ) = − f ( x ) \therefore f(-x)=-f(x) ∴f(−x)=−f(x)
  ∴ \therefore ∴该函数为奇函数。
  
  (5) y = s i n x − c o s x + 1 y=sinx - cosx + 1 y=sinx−cosx+1
  首先， y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)定义域关于原点对称。
  ∵ f ( − x ) = s i n ( − x ) − c o s ( − x ) + 1 = − s i n x − c o s x + 1 \because f(-x)=sin(-x)-cos(-x)+1=-sinx-cosx+1 ∵f(−x)=sin(−x)−cos(−x)+1=−sinx−cosx+1
  ∴ f ( − x ) ≠ f ( x ) \therefore f(-x)\neq f(x) ∴f(−x)=f(x)且 f ( − x ) ≠ − f ( x ) f(-x)\neq -f(x) f(−x)=−f(x)
  $\therefore $该函数即非偶函数又非奇函数。
  
  (6) y = a x + a − x 2 y=\frac{a^x+a^{-x}}{2} y=2ax+a−x​
  首先， y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)定义域关于原点对称。
  ∵ f ( − x ) = a − x + a x 2 = f ( x ) \because f(-x)=\frac{a^{-x}+a^x}{2}=f(x) ∵f(−x)=2a−x+ax​=f(x)
  ∴ f ( − x ) = f ( x ) \therefore f(-x)=f(x) ∴f(−x)=f(x)
  ∴ \therefore ∴该函数为偶函数。

2.8

• 【题目】
  下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。
• 【解答】
  (1) y = c o s ( x − 2 ) y=cos(x-2) y=cos(x−2)
  该函数为周期函数，周期 T = 2 π T=2\pi T=2π。
  
  (2) y = c o s 4 x y=cos4x y=cos4x
  该函数为周期函数，周期 T = 2 π 4 = π 2 T=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2} T=42π​=2π​。
  
  (3) y = 1 + s i n π x y=1+sin\pi x y=1+sinπx
  该函数为周期函数，周期 T = 2 π π = 2 T=\frac{2\pi}{\pi}=2 T=π2π​=2。
  
  (4) y = x c o s x y=xcosx y=xcosx
  该函数不是周期函数。
  
  (5) y = s i n 2 x y=sin^2x y=sin2x
  ∵ y = 1 − c o s 2 x 2 \because y=\frac{1-cos2x}{2} ∵y=21−cos2x​
  ∴ \therefore ∴该函数为周期函数，周期 T = 2 π 2 = π T=\frac{2\pi}{2}=\pi T=22π​=π。

2.9

• 【题目】
  求下列函数的反函数。
• 【解答】
  (1) y = x + 1 3 y=\sqrt[3]{x+1} y=3x+1 ​
  y 3 = x + 1 y^3=x+1 y3=x+1
  x = y 3 − 1 , x ∈ R x = y^3 - 1,x\in R x=y3−1,x∈R
  
  (2) y = 1 − x 1 + x y=\frac{1-x}{1+x} y=1+x1−x​
  y + x y = 1 − x y+xy=1-x y+xy=1−x
  x + x y = 1 − y x+xy=1-y x+xy=1−y
  x = 1 − y 1 + y , y ≠ − 1 x=\frac{1-y}{1+y},y\neq -1 x=1+y1−y​,y=−1
  
  (3) y = a x + b c x + d , ( a d − b c ≠ 0 ) y=\frac{ax+b}{cx+d}, (ad-bc\neq 0) y=cx+dax+b​,(ad−bc=0)
  c x y + d y = a x + b cxy+dy=ax+b cxy+dy=ax+b
  c x y − a x = b − d y cxy-ax=b-dy cxy−ax=b−dy
  x = b − d y c y − a , y ≠ a c x=\frac{b-dy}{cy-a}, y\neq \frac{a}{c} x=cy−ab−dy​,y=ca​
  
  (4) y = 2 s i n 3 x , ( − π 6 ≤ x ≤ π 6 ) y=2sin3x,(-\frac{\pi}{6}\leq x \leq \frac{\pi}{6}) y=2sin3x,(−6π​≤x≤6π​)
  s i n 3 x = y 2 sin3x=\frac{y}{2} sin3x=2y​
  3 x = a r c s i n y 2 3x=arcsin\frac{y}{2} 3x=arcsin2y​
  x = a r c s i n y 2 3 , − 2 ≤ y ≤ 2 x=\frac{arcsin\frac{y}{2}}{3}, -2\leq y \leq 2 x=3arcsin2y​​,−2≤y≤2
  
  (5) y = 1 + l n ( x + 2 ) y=1+ln(x+2) y=1+ln(x+2)
  l n ( x + 2 ) = y − 1 ln(x+2)=y-1 ln(x+2)=y−1
  x + 2 = e y − 1 x+2=e^{y-1} x+2=ey−1
  x = e y − 1 − 2 , y ∈ R x=e^{y-1}-2,y\in R x=ey−1−2,y∈R
  
  (6) y = 2 x 2 x + 1 y=\frac{2^x}{2^x+1} y=2x+12x​
  y 2 x + y = 2 x y2^x+y=2^x y2x+y=2x
  2 x − y 2 x = y 2^x-y2^x=y 2x−y2x=y
  2 x = y 1 − y 2^x=\frac{y}{1-y} 2x=1−yy​
  l o g 2 2 x = l o g 2 y 1 − y log_2^{2^x}=log_2^\frac{y}{1-y} log22x​=log21−yy​​
  x = l o g 2 y 1 − y , 0 < y < 1 x=log_2 ^\frac{y}{1-y},0<y<1 x=log21−yy​​,0<y<1

2.10

• 【题目】
  设函数 f ( x ) f(x) f(x)在数集 X X X上有定义，试证：函数 f ( x ) f(x) f(x)在 X X X上有界的充分必要条件是它在 X X X上既有上界又有下界。

• 【证明】充分条件
  ∵ f ( x ) \because f(x) ∵f(x)在 X X X上既有上界又有下界。
  ∴ ∃ K 1 \therefore \exist K_1 ∴∃K1​使得任一 x ∈ X x\in X x∈X有 f ( x ) ≤ K 1 f(x)\leq K_1 f(x)≤K1​， ∃ K 2 \exist K_2 ∃K2​使得任一 x ∈ X x\in X x∈X有 f ( x ) ≥ K 2 f(x)\geq K_2 f(x)≥K2​。
  取 K = m a x { ∣ K 1 ∣ , ∣ K 2 ∣ } K=max \lbrace \begin{vmatrix}K_1 \end{vmatrix} , \begin{vmatrix} K_2 \end{vmatrix} \rbrace K=max{ ​K1​​ ​, ​K2​​ ​} 有 ∣ f ( x ) ∣ ≤ K \begin{vmatrix}f(x) \end{vmatrix}\leq K ​f(x)​ ​≤K
  ∴ f ( x ) \therefore f(x) ∴f(x)有界。

• 【证明】必要条件
  ∵ f ( x ) \because f(x) ∵f(x)在 X X X上有界。
  ∴ ∃ K > 0 \therefore \exist K>0 ∴∃K>0，使得对任一 x ∈ X x\in X x∈X，$ \begin{vmatrix}f(x) \end{vmatrix}\leq K$都成立。
  ∴ − K ≤ f ( x ) ≤ K \therefore -K\leq f(x) \leq K ∴−K≤f(x)≤K
  ∴ f ( x ) \therefore f(x) ∴f(x)在 X X X上既有上界又有下界。

• 综上，命题得证。

2.11

• 【题目】
  在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量 x 1 x_1 x1​和 x 2 x_2 x2​的函数值。

• 【解答】
  (1) y = u 2 y=u^2 y=u2， u = s i n x u=sinx u=sinx， x 1 = π 6 x_1=\frac{\pi}{6} x1​=6π​， x 2 = π 3 x_2=\frac{\pi}{3} x2​=3π​
  复合函数为： y = f ( x ) = s i n 2 x y=f(x)=sin^2x y=f(x)=sin2x
  y 1 = f ( x 1 ) = f ( π 6 ) = s i n 2 π 6 = 1 4 y_1=f(x_1)=f(\frac{\pi}{6})=sin^2\frac{\pi}{6}=\frac{1}{4} y1​=f(x1​)=f(6π​)=sin26π​=41​
  y 2 = f ( x 2 ) = f ( π 3 ) = s i n 2 π 3 = 3 4 y_2=f(x_2)=f(\frac{\pi}{3})=sin^2\frac{\pi}{3}=\frac{3}{4} y2​=f(x2​)=f(3π​)=sin23π​=43​
  
  

  (2) y = s i n u y=sinu y=sinu， u = 2 x u=2x u=2x， x 1 = π 8 x_1=\frac{\pi}{8} x1​=8π​， x 2 = π 4 x_2=\frac{\pi}{4} x2​=4π​
  复合函数为： y = f ( x ) = s i n ( 2 x ) y=f(x)=sin(2x) y=f(x)=sin(2x)
  y 1 = f ( x 1 ) = s i n ( 2 ⋅ π 8 ) = s i n π 4 = 2 2 y_1=f(x_1)=sin(2\cdot \frac{\pi}{8})=sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2} y1​=f(x1​)=sin(2⋅8π​)=sin4π​=22 ​​
  y 2 = f ( x 2 ) = s i n ( 2 ⋅ π 4 ) = s i n π 2 = 1 y_2=f(x_2)=sin(2\cdot \frac{\pi}{4})=sin\frac{\pi}{2}=1 y2​=f(x2​)=sin(2⋅4π​)=sin2π​=1
  
  

  (3) y = u y=\sqrt{u} y=u ​， u = 1 + x 2 u=1+x^2 u=1+x2， x 1 = 1 x_1=1 x1​=1， x 2 = 2 x_2=2 x2​=2
  复合函数为： y = f ( x ) = 1 + x 2 y=f(x)=\sqrt{1+x^2} y=f(x)=1+x2 ​
  y 1 = f ( x 1 ) = 1 + 1 = 2 y_1=f(x_1)=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} y1​=f(x1​)=1+1 ​=2 ​
  y 2 = f ( x 2 ) = 1 + 2 2 = 5 y_2=f(x_2)=\sqrt{1+2^2}=\sqrt{5} y2​=f(x2​)=1+22 ​=5 ​
  
  

  (4) y = e u y=e^u y=eu， u = x 2 u=x^2 u=x2， x 1 = 0 x_1=0 x1​=0， x 2 = 1 x_2=1 x2​=1
  复合函数为： y = f ( x ) = e x 2 y=f(x)=e^{x^2} y=f(x)=ex2
  y 1 = f ( x 1 ) = e 0 = 1 y_1=f(x_1)=e^0=1 y1​=f(x1​)=e0=1
  y 2 = f ( x 2 ) = e 1 = e y_2=f(x_2)=e^1=e y2​=f(x2​)=e1=e
  
  

  (5) y = u 2 y=u^2 y=u2， u = e x u=e^x u=ex， x 1 = 2 x_1=2 x1​=2， x 2 = − 1 x_2=-1 x2​=−1
  复合函数为： y = f ( x ) = ( e x ) 2 = e 2 x y=f(x)=(e^x)^2=e^{2x} y=f(x)=(ex)2=e2x
  y 1 = f ( x 1 ) = e 4 y_1=f(x_1)=e^4 y1​=f(x1​)=e4
  y 2 = f ( x 2 ) = e − 2 y_2=f(x_2)=e^{-2} y2​=f(x2​)=e−2

2.12

• 【题目】
  设 f ( x ) f(x) f(x)的定义域 D = [ 0 , 1 ] D=[0,1] D=[0,1]，求下列各函数的定义域。

• 【解答】
  (1) f ( x 2 ) f(x^2) f(x2)
  ∵ 0 ≤ x 2 ≤ 1 \because 0\leq x^2 \leq 1 ∵0≤x2≤1
  ∴ f ( x 2 ) \therefore f(x^2) ∴f(x2)的定义域为 { x ∣ − 1 ≤ x ≤ 1 } \lbrace x| -1\leq x \leq 1\rbrace {x∣−1≤x≤1}
  

  (2) f ( s i n x ) f(sinx) f(sinx)
  ∵ 0 ≤ s i n x ≤ 1 \because 0\leq sinx \leq 1 ∵0≤sinx≤1
  ∴ f ( s i n x ) \therefore f(sinx) ∴f(sinx)的定义域为 { x ∣ 2 k π ≤ x ≤ ( 2 k + 1 ) π , k ∈ Z } \lbrace x| 2k\pi \leq x \leq (2k+1)\pi, k\in Z\rbrace {x∣2kπ≤x≤(2k+1)π,k∈Z}
  

  (3) f ( x + a ) , ( a > 0 ) f(x+a),(a>0) f(x+a),(a>0)
  ∵ 0 ≤ x + a ≤ 1 \because 0\leq x+a \leq 1 ∵0≤x+a≤1
  ∴ f ( x + a ) \therefore f(x+a) ∴f(x+a)的定义域为 { x ∣ − a ≤ x ≤ 1 − a } \lbrace x|-a\leq x\leq 1-a \rbrace {x∣−a≤x≤1−a}
  

  (4) f ( x + a ) + f ( x − a ) , ( a > 0 ) f(x+a)+f(x-a),(a>0) f(x+a)+f(x−a),(a>0)
  由 { 0 ≤ x + a ≤ 1 0 ≤ x − a ≤ 1 \begin{cases} 0 \leq x+a \leq 1 \\ 0\leq x-a\leq 1\end{cases} {0≤x+a≤10≤x−a≤1​
  得 − a ≤ x ≤ 1 − a -a\leq x \leq 1-a −a≤x≤1−a与 a ≤ x ≤ 1 + a a\leq x \leq 1+a a≤x≤1+a同时成立。
  ∵ a > 0 \because a>0 ∵a>0
  ∴ a > − a \therefore a>-a ∴a>−a
  当 a > 1 − a a>1-a a>1−a，即 a > 1 2 a>\frac{1}{2} a>21​时， f ( x + a ) + f ( x − a ) f(x+a)+f(x-a) f(x+a)+f(x−a)的定义域为 Φ \Phi Φ;
  当 a ≤ 1 2 a\leq \frac{1}{2} a≤21​时， f ( x + a ) + f ( x − a ) f(x+a)+f(x-a) f(x+a)+f(x−a)的定义域为 { x ∣ a ≤ x ≤ 1 − a } \lbrace x| a\leq x \leq 1-a \rbrace {x∣a≤x≤1−a}。

2.13

• 【题目】
  设 f ( x ) { 1 , ∣ x ∣ < 1 0 , ∣ x ∣ = 1 , g ( x ) = e x − 1 ∣ x ∣ > 1 f(x)\begin{cases}1, &\begin{vmatrix}x \end{vmatrix} <1 \\ 0, &\begin{vmatrix} x\end{vmatrix}=1 , \qquad g(x)=e^x\\-1 &\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}>1 \end{cases} f(x)⎩ ⎨ ⎧​1,0,−1​ ​x​ ​<1 ​x​ ​=1,g(x)=ex ​x​ ​>1​求 f [ g ( x ) ] f[g(x)] f[g(x)]和 g [ f ( x ) ] g[f(x)] g[f(x)]。

• 【解答】

• 求 f [ g ( x ) ] f[g(x)] f[g(x)]
  当 x < 0 x<0 x<0时， 0 < g ( x ) = ∣ g ( x ) ∣ < 1 0<g(x)=\begin{vmatrix} g(x)\end{vmatrix}<1 0<g(x)= ​g(x)​ ​<1；
  当 x = 0 x=0 x=0时， g ( x ) = ∣ g ( x ) ∣ = 1 g(x)=\begin{vmatrix} g(x) \end{vmatrix}=1 g(x)= ​g(x)​ ​=1;
  当 x > 0 x>0 x>0时， g ( x ) = ∣ g ( x ) ∣ > 1 g(x)=\begin{vmatrix} g(x) \end{vmatrix}>1 g(x)= ​g(x)​ ​>1
  可得 f [ g ( x ) ] = { 1 , x < 0 0 , x = 0 − 1 , x > 0 f[g(x)]=\begin{cases} 1, &x<0\\ 0, &x= 0\\ -1, &x>0 \end{cases} f[g(x)]=⎩ ⎨ ⎧​1,0,−1,​x<0x=0x>0​

• 求 g [ f ( x ) ] g[f(x)] g[f(x)]
  g [ f ( x ) ] = { e , ∣ x ∣ < 1 1 , ∣ x ∣ = 1 1 e , ∣ x ∣ > 1 g[f(x)]=\begin{cases} e, &\begin{vmatrix}x \end{vmatrix}<1 \\ 1, &\begin{vmatrix}x \end{vmatrix}=1 \\ \frac{1}{e}, &\begin{vmatrix}x \end{vmatrix}>1 \end{cases} g[f(x)]=⎩ ⎨ ⎧​e,1,e1​,​ ​x​ ​<1 ​x​ ​=1 ​x​ ​>1​
  
  

2.14

• 【题目】
  已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角 ϕ = 40 ° \phi=40\degree ϕ=40°。当过水断面 A B C D ABCD ABCD得面积为 S 0 S_0 S0​时，求湿周 L ( L = A B + B C + C D ) L(L=AB+BC+CD) L(L=AB+BC+CD)与水深 h h h之间的函数关系式，并指明定义域。
  

• 【解答】
  由等腰梯形图形关系可得， A B = C D = h / s i n 40 ° (1) AB=CD=h/sin40\degree \tag{1} AB=CD=h/sin40°(1) A D = B C + 2 ⋅ h / t a n 40 ° . (2) AD=BC+2\cdot h/tan40\degree. \tag{2} AD=BC+2⋅h/tan40°.(2)根据梯形面积计算公式得， S 0 = h ⋅ ( A D + B C ) / 2. (3) S_0=h\cdot (AD+BC)/2. \tag{3} S0​=h⋅(AD+BC)/2.(3)
  将 ( 2 ) (2) (2)式代入 ( 3 ) (3) (3)式得， S 0 = h ⋅ ( B C + 2 ⋅ h / t a n 40 ° + B C ) / 2 = h ⋅ B C + h 2 / t a n 40 ° (4) \begin{aligned} S_0 &=h\cdot (BC+2\cdot h/tan40\degree + BC)/2\\&=h\cdot BC+h^2/tan40\degree \end{aligned} \tag{4} S0​​=h⋅(BC+2⋅h/tan40°+BC)/2=h⋅BC+h2/tan40°​(4)
  进一步转换得， B C = S 0 − h 2 / t a n 40 ° h = S 0 h − h t a n 40 ° . (5) BC=\frac{S_0-h^2/tan40\degree}{h}=\frac{S_0}{h}-\frac{h}{tan40\degree}.\tag{5} BC=hS0​−h2/tan40°​=hS0​​−tan40°h​.(5)
  综上，湿周 L = A B + B C + C D = h s i n 40 ° + S 0 h − h t a n 40 ° + h s i n 40 ° = S 0 h + 2 − c o s 40 ° s i n 40 ° h \begin{aligned} L &=AB+BC+CD \\&=\frac{h}{sin40\degree} + \frac{S_0}{h}-\frac{h}{tan40\degree}+\frac{h}{sin40\degree} \\ &= \frac{S_0}{h}+\frac{2-cos40\degree}{sin40\degree}h\end{aligned} L​=AB+BC+CD=sin40°h​+hS0​​−tan40°h​+sin40°h​=hS0​​+sin40°2−cos40°​h​
  由 B C = S 0 h − h t a n 40 ° > 0 BC=\frac{S_0}{h}-\frac{h}{tan40\degree}>0 BC=hS0​​−tan40°h​>0得，定义域 { h ∣ 0 < h < S 0 t a n 40 ° } \lbrace h|0< h<\sqrt{S_0tan40\degree}\rbrace {h∣0<h<S0​tan40° ​}。

2.15

• 【题目】
  收音机每台售价为90元，成本为60元。厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，没多订购1台，售价就降低1分，但最低为每台75元。
  (1) 将每台的实际售价 p p p表示为订购量 x x x的函数；
  (2) 将厂方所获的利润 P P P表示成订购量 x x x的函数；
  (3) 某一销售商订购了1000台，厂方可获利润多少？
• 【解答(1)】
  p ( x ) = { 90 , 0 < x ≤ 100 90 − x − 100 100 , 100 < x ≤ 1600 75 , x > 1600 p(x)=\begin{cases} 90,&0<x\leq 100 \\ 90-\frac{x-100}{100},&100<x\leq 1600\\ 75, &x> 1600 \end{cases} p(x)=⎩ ⎨ ⎧​90,90−100x−100​,75,​0<x≤100100<x≤1600x>1600​
• 【解答(2)】
  P ( x ) = { ( 90 − 60 ) x = 30 x , 0 < x ≤ 100 ( 90 − x − 100 100 − 60 ) x = ( 31 − x 100 ) x , 100 < x ≤ 1600 ( 75 − 60 ) x = 15 x , x > 1600 P(x)=\begin{cases}(90-60)x=30x,&0<x\leq 100 \\ (90-\frac{x-100}{100}-60)x=(31-\frac{x}{100})x,&100<x\leq 1600 \\(75-60)x=15x,&x> 1600 \end{cases} P(x)=⎩ ⎨ ⎧​(90−60)x=30x,(90−100x−100​−60)x=(31−100x​)x,(75−60)x=15x,​0<x≤100100<x≤1600x>1600​
• 【解答(3)】
  ( 31 − 1000 100 ) ⋅ 1000 = 21000 (31-\frac{1000}{100})\cdot 1000=21000 (31−1001000​)⋅1000=21000元。

2.16

• 【题目】
  利用以下联合国统计办公室提供的世界人口数据以及指数模型来推测2010年的世界人口。
• 【解答】
  • 1987年至1991年间，“当年人口数与上一年人口数的比值”以1.0175和1.0176为主，故取两数的平均值1.0176为1992年以后各年份“当年人口数与上一年人口的比值”。
  • 1992年开始以后各年份的人口数计算公式为： y = 5422 ⋅ 1.017 6 ( x − 1991 ) y=5422\cdot 1.0176^{(x-1991)} y=5422⋅1.0176(x−1991)。式中， x x x为年份数， y y y为 x x x年的人口数。
  • 2010年的人口数为： 5422 ⋅ 1.017 6 ( 2010 − 1991 ) = 5422 ⋅ 1.017 6 1 9 ≈ 7553 5422\cdot 1.0176^{(2010-1991)}=5422\cdot 1.0176^19 \approx 7553 5422⋅1.0176(2010−1991)=5422⋅1.017619≈7553（百万），约76亿。

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• 【学习资料】
  《高等数学（第六版）》 上册，同济大学数学系 编