總結力學_1

參考:

陈曦<<力学讲义>>http://ithatron.phys.tsinghua.edu.cn/downloads/mechanics.pdf

正文:

1.物理学构筑了描述世界的模型

        我们首先来理解物理学是怎样的一种知识。在探索未知世界的进程中，人类 从未止步于利用感觉器官和各种工具来进行观测，而是更进一步依据这些观 测结果为世界构筑各种模型。这种异乎寻常的能力似乎仅为具有高级思维能力的人类大脑所特有，我们至今仍然对其机理知之甚少。虽然模型植根于经验，但确是人类大脑的创造。

理想模型

        模型是大脑对外部世界的反映但并不等同于外部世界。人们只是希望纷繁复杂的世界能够按照自己构筑的模型所预测的那样运转。

        在形式上，模型表述为严格的因果关系，这也就意味着我们期望各种可观测的现象都具有可重复性，即相同的条件会得到相同的结果。这种可重复性就是所谓“客观实在”的本质意义和一切科学活动的基础，虽然我们并不知道其根源是什么，甚至不知道是否真的有所谓“可重复性”。

        物理学就开始于对“客观实在”的经验性认识。虽然原则上这个模型可以是一个记 录了万事万物全部因果信息的数据库，但人们更倾向于追求一种简洁的框架。如牛顿体系那样，这个框架只包括为数不多的陈述。这些陈述试图将这 个世界上几乎是无穷多的自由度约化为极少的几个约束关系（比如几个公式），并认为这些关系是普适的、基本的和精确的。

        必须指出的是，物理学家利用各种实验工具、理论工具和想像力创造出来的模型是用来描述这个世界，而不是解释世界或者发现存在的意义。物理学家所讨论的“客观实在”仅在于“可重复性”，即同样的实验都会得到同样的结果。物理学家以实验观测为基础利用想像力来发明概念和图像去描述“客观实在“。我们没有任何理由认为必定会存在一种包罗万象的简洁理论或这个物质世界的本身一定存在所谓“规律”。即使有所谓“规律”，我们也无法知道我们所写下的模型是否就是那个“规律”。而我们这个世界最为神奇、最为不可思议的地方就是人们迄今为止所作的努力、取得的成功似乎暗示着这个世界存在着一般的秩序和普遍的原则。至于人们是否能够找到一种“终极理论”描述宇宙中的一切现象，则是一个没有答案的问题。

        先让我们回到牛顿的原始表述。牛顿的《自然哲学的数学原理》的出版是人类历史上的一个重要时刻。牛顿不仅仅是解决了一系列物理问题，更重要的是开创了一个思想体系、创立了一个优美的框架。他相信可以用普适的、简洁的定律描述自然界。牛顿在他书中给出了著名的三个定律：

定律一 每个物体都保持其静止、或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使它改变那个状态。(又名慣性定律)

定律二 运动的变化正比于外力，变化的方向沿外力作用的直线方向。

定律三 每一种作用都有一个相等的反作用；或者，两个物体间的相互作用总是相等的，而且指向相反。

        牛顿创立的体系在今天看来已经变得如此的不言而喻，以至于会使我们低估做出这一贡献的难度。事实上，这就是科学发展过程自身的特点。

科学的进步来源于新的工具、新的发现和新的思想的出现。

新的工具拓展人的观测能 力、发现新的现象，是最常引发突破发生的因素。完成一个科学方向上的突破之前的尝试往往是复杂、凌乱和胶着的，交织着实验和理论发现、概念和技术创新。其中绝大多数的工作并不会导致重要结果，从而不再被人关注。

        而突破发生之后出现的新的理解往往是明了而自然的。原本难以理解的事实和概念变得各安其位，似乎一切都如此之自然、如此的显而易见和理所当然，以至于后人很难想象当初为此所作出的智力上超乎寻常的的努力。对这一点的认识会使人们对他们正在进行的以发现为目的的智力活动有更深入的理解。

天文史

        在哥白尼之前，托勒密的本轮－均轮体系取得了很大的成就。但这一体系过于复杂，因此人们期待着一种更简便的模型。哥白尼尝试着将太阳放在中心并作为参考点来描述行星运动并最终取得了成功。哥白尼不是第一个提出日心说的人，古希腊的天文学家也曾做过类似的尝试，不过却因为缺乏证据而未被接受。到了哥白尼的时代，科学技术的进步和观测数据的积累达到了一个新的高度，科学界“已经准备好”接受一次观念的革命。哥白尼的工作将日心说高度定量化，在之后的一百多年的时间里被广泛接受并引发物理学的革命。这恐怕是哥白尼始料不及的。

        事实上，在哥白尼的时代，日心说本身并没有明显地优于托勒密体系。尽管哥白尼让地球不再处于模型的中心，但他在处理行星运动的细节上与托勒密是一致的。为了描述很多不规则的运动，哥白尼也需要要引入很多本轮。 哥白尼的伟大贡献是扩大了人们的视野，使人们发现日心说也是一种可能的选择，为此后伽利略等人的进一步工作打好了基础。

        从哥白尼发表《天球运行论》（1543年）到牛顿出版《自然哲学的数学原理》（1687年）的这段时间里，为这场物理学革命做出最重要贡献的有第谷、开普勒和伽利略。第谷做出的一系列精密测量是此后建立严密理论的基础。第谷去世后，接替他的位置的是其助手开普勒。开普勒是哥白尼的坚定支持者，并具有非凡的数学能力。

        火星的轨道一直是天文学上空的一朵乌云。无论是托勒密还是哥白尼都没能对其轨道的不规则性做出满意的描述。开普勒在第谷的数据基础上利用了五年的时间尝试了各种圆周的组合后才偶然发现椭圆才是真正的答案。这期间他所构造的圆周组合模型中的许多都要比托勒密和哥白尼的更精确，但是仍然与第谷的精密测量结果有差距。只有椭圆才即简单又精确地给出了行星轨道。这就是

No.1开普勒第一定律：行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。

只有到这时，哥白尼体系的威力才真正显示出来。由于不再有匀速的圆周运动，开普勒需要为行星寻找新的运动规律。这一次，他发现了

No.2开普勒第二定律：对于任何行星，它的径矢在相等的时间内扫过相等的面积。

没人知道开普勒是如何发现这个规律的。更为天才的是

No.3开普勒的第三定律：行星绕太阳运动轨道半长轴的立方与周期的平方成正比。

它建立了不同行星之间的关系，是一个从来没有被觉察到的规律。不知道开普勒是如何想起来去研究不同行星间的关系，更不知道他为什么会关注半长轴与周期的关系，似乎有一种神秘的直觉在引导，完全是神来之笔。有了这些发现以及伽利略的望远镜观测后，哥白尼体系才取得了决定性的胜利。

物理的發現史

        通常，新的发现或者被遗忘，或者被物理学家小心翼翼地纳入到已有的框架之中，而并不一定会导致突破。只有在形成足够的积累之后，思想的漸变才能产生普遍的影响。通常发生的是，一个产生重要影响的发现出现后，人们总是可以在早些时候的研究中找到相同或类似的工作。但这些早期的工作由于没有出现在合适的时间或环境中而未带来革命性的影响。新的发现通常是不完善的、粗糙的，甚至发现者本身可能都没有充分意识到它的重要性。发现的过程往往是曲折迂回地在试探中前进，有时甚至出发点都有可能是错误的。但新的发现会启发和激励一些人继续沿着那个方向探索下去。大部分的情况是，这些后续的工作并没有导致有重要意义的结果，从而不再被人关 注。只有一少部分会发展起来。这往往要经历多人的努力。我们今天学习到的都是经过前人长期的完善后留下的精华，可能已经不易看出它的原始的模样，也不会有许多人了解这个过程中曾出现过的曲折。这会给正在学习阶段的学生留下一个不正确的印象，似乎物理学从来在逻辑上和方法上都是一个近乎完美的知识体系。完美的事物使人愉悦，但可能会引导学生只关心那些已经成熟的领域。然而不成熟的领域才会有更多的新发现的机会。

        经历了千年的努力，科学在牛顿时代达到了一个顶峰。我们在此不再更多地回顾这段历程，而是基于牛顿体系去仔细审视人与世界的关系并进一步揭示物理学知识体系的结构。这种结构并非是一个物理学知识体系最初的样子，而是之后对已有知识进行系统梳理的结果，其目的在于给出一个清晰的逻辑框架。需要特别注意的是，逻辑固然为科学探索所必须，但远远不是全部。

        梳理后的框架已经略去了发现的过程，并不能反映发现的全貌。例如，实验会更多地以观测的面目出现逻辑体系中，而事实上实验的作用则更多地体现在发现新的现象、新的效应。新大陆的发现更依赖于实践、眼界、勇气、想法、品味、运气和灵感。但由于力学比较直观化，所以在本课程中我们会更侧重于知识的框架。更为重要的是，这样一个结构总是建立在一系列基本假设基础之上，深刻理解这些基本假设才会知道现有知识的边界在哪里、怎样进一步拓展知识的边界。

測量與定量

        模型中要包含一系列可观测量，例如时间、空间、质量、速度、电荷、力、电场、磁场、温度等等。可观测量来源于“客观实在”反映到大脑中的映象又是模型与世界的接口。每一个可观测量都对应具体的测量过程并将测量定量化，否则没有意义。模型的另一部分是一系列定律（也称为假

设），例如在惯性参考系中适用于宏观、低速、弱引力场条件下的运动方程

。这些定律是人的创造。如果没有对应具体的测量，公式中的变量，如

，也就只有数学意义。如果数学方程解出的结果是可以测量的，那么就可以验证方程的解是否能以足够高的精度符合测量结果，从而判定模型的优劣。这里的一个微妙之处在于既然模型是对世界的描述，那么也应同样适用于测量仪器，亦即模型本身赋予了一个仪器测量结果的意义。例如，牛顿力学断定一个自由粒子（无外力作用）呈现匀速直线运动。那么我们就可以把该粒子当作时钟来计时：时间的数值正比于位移。我们也可以采用其他任何物理学所能描述的运动（如行星、刚体、电磁波）来作为时钟。

        总而言之，我们能测量什么、怎么测量由模型决定。这里的令人困惑之处是既然模型本身是人发明的，那么诸多可测物理量是否也是人的创造？回答是双重的：可测物理量是人对世界中存在的事物的抽象；而一个量怎么测及其大小依赖于人为的规定。事实上，空间和时间并不是独立于物质运动的背景舞台，只是表明一种次序，没有绝对意义。

        例如，同样是作为时钟的自由粒 子，我们可以规定时间是位移的任意函数，只是选择会让与之匹配的运动方程呈现一个简单的形式

⃗

。其他的规定一般地会导致复杂的运动规律。对于一个模型的基本要求是始终满足定律之间的自洽性、定律与测量之间的一致性以及实验与模型预言高度相符，而追求简单性无疑是一个方便的策略。

2.惯性参考系

        我们将对牛顿力学进行进一步的梳理。牛顿力学是宏观、低速、弱引力场条件下的唯像有效理论。尽管物理学家在近代已经发展出比牛顿力学更为成功的框架，但牛顿力学是一个非常典型而又比较直观的范例，可以让我们体验物理学的方方面面。牛顿力学的可观测量至少要包括时间、空间、质量、力。我们需要做的是在宏观意义下定义可观测量的测量方法、给出运动规律。

單位、常數的測量

        在当前的国际单位制中，时间的单位是秒，定义为“与铯133原子基态两个超精细能级间跃迁对应的辐射周期的9,192,631,770倍”，其基础是量子力学和电磁相互作用(量子電動力學)。长度的单位是米，定义为“光在真空中1/299,792,458秒的时间间隔内所经路径的长度”，其基础是相对论和电磁相互作用。然而，如果将牛顿力学作为一个完备的模型看待，我们需要采用不依赖于量子力学和相对论的定义。为此，米仍由国际米原器定义。米原器的材料是90%的铂和10%的铱的铂依合金，保存在巴黎国际计量局，保存条件是0◦ C，一个大气压。一个基本要求是米原器必须足够“刚性”。然而，在有长度的定义前，我们并没有先验的办法确定刚性的程度。可以如此规避这个循环论证：原则上任何一根杆都可以作为长度标准，采用不同的杆会导致不同的运动方程，我们挑选的是可以使观测数据用一个简单的运动方程足够好地描述的那一个。时间的定义也是类似的情形。有了长度之后，只要规定了时间与位置的对应关系把时间测量转换为位置测量，原则上我们可以选取任何一个运动来定义时间。也可以采用另一种不依赖于长度定义的方案：把时间测量转换为计数。这时需要的是往复的运动。每当运动回到某一个设定点计数n 就增加1。可以令时间 t 是 n 的函数。我们发现采用地球自转、公转、单摆等等并规定t ∝ n （在此规定下的往复运动称为周期运动），运动方程可以以一种简单的形式足够好地描述各种观测数据。需要注意的是，在没有定义时间以前所谓周期运动是没有意义的。原则上我们当然可以规定t 是 n 的任意函数。但发现只有t ∝ n 才给出了简单的运动规律形式。另外，这种简单的正比关系还是存在单位这样一个概念的基础。只有采用了正比关系才可以定义一个量的单位。

        即使在牛顿之前，人们就已经在使用各种各样的时钟。但这些时钟只是建立在人的感觉基础之上，而不是以任何物理定律作为依据，可称为经验时钟。

        牛顿力学开始于对行星运动的研究。这时我们不妨取地球自转作为时钟，每一圈定义为一天。在此基础上建立的运动方程可以很好地描述行星的运动。反过来，这个运动方程还可以告诉我们地球作为一个不错的刚体，其自转确实很接近周期性运动，因而与将其定义为时钟是自洽的。但我们还需要定义更短的时间单位。为此，我们相信描述行星运动的方程也同样适用于地面上的运动，可以发现单摆等也可以是很好的周期运动并可依此定义更短的时间单位。现代的时间单位定义基于量子力学的原理，可以达到极高的精度和稳定性。一般地，一个新的单位定义方法总是来源于新的原理的运用，否则不会对其精度和稳定性有本质的提高。当基于新原理的测量精度已经优于之前的方法时，单位的定义就需要更新了。

        我们作为观测者需要一个参考系来放置实验室，开展实验测量。有了一个参考系作为基准，我们可以通过测量长度和角度来建立一个坐标系，写下空间每一点的坐标，进行空间位置的测量。坐标系可以是任意的，可以是直角坐标也可以是球坐标，甚至是不固定在参考系上，如处理刚体问题时可以选择与刚体一同运动的坐标架。只要能够将空间参量化，如何选择坐标系往往是为了方便。为了测量时间，我们还需要把时钟固定在参考系中。于是一个粒子在某一时刻所处的空间位置就可以确定下来。任何测量都应该是局域的。

        为了将不同位置的测量协调起来，我们需要一种方便的办法对它们进行同步。显然一个由一群彼此相对静止的粒子的组成的刚体是达到这个目的最好的办法之一。自然界提供了很多非常好的物质体系可以看作刚体。

        一个理想的情况是，任何一个刚体都应该可以作为参考系，它们之间不应该有任何区别。没有任何先验的理由告诉我们哪个刚体更适合做参考系，选择哪一个完全是观测者的自由。这种没有任何特殊参考系、任何观测者均应等价的要求只有在广义相对论中才会实现。在牛顿力学中，我们选择了一类称为惯性系的特殊参考系作为测量的基准，并有如下假设。

假设IA

        存在这样一个参考系，其中任何自由粒子都做匀速直线运动，称为惯性系。 由于之前已经定义了时间和速度，所以匀速运动有了明确意义。自由粒子是指外力作用为零。迄今为止的发现表明粒子间的相互作用有四种类型：

万有引力、电磁作用、弱相互作用和强相互作用

。如果只考虑原子核尺度以上的物理，就只需关注引力和电磁作用。电磁作用在很大程度上可以通过屏蔽效应来消减。万有引力随距离呈平方反比关系，因此只要与其他粒子足够远就可以把相互作用降到足够低。另外还可以通过设计合适的电场分布来抵消引力。无论是电磁屏蔽还是用电磁场抵消引力，并不是真正没有力作用在粒子上，只是合外力为零，其实现需要有关于电磁场的详细知识。

        然而描述电磁现象的麦克斯韦方程组同牛顿定律一样需要在惯性系中成立。于是，一方面需要用惯性系中的知识来实现自由粒子，另一方面又需要用自由粒子来印证惯性系。这种情形只是体现了模型的自洽性：为相互作用写下的形式需要能够实现自由粒子。最终的判据来自实验。设想我们指定了一个参考系为惯性系并已知运动定律，这时如果我们实验发现依此实现的自由粒子并非做匀速直线运动，则有两种可能性：此参考系并非惯性系或者运动定律不准确。

        惯性系的存在性是牛顿在建立其理论体系时面临的一个问题。他的解决办法是引入绝对空间的概念。绝对空间是万事万物运动的舞台，是一种可以脱离物质而独立存在的实在。它像一个屏幕，物质的运动就像是上演的电影。绝对空间本身就是一个惯性系。然而，实验并没有发现绝对空间存在的迹象。

        我们更倾向于认为所谓时间和空间需要基于测量。脱离测量而空泛地