JavaDS —— 并查集

并查集概念

案例引入：
假设现在有三个程序设计小分队，分别来自广东，广西和海南，其中广东小分队人员的编号为{0，6，7，8}
广西小分队人员编号为{1，4，9}，海南小分队人员编号为{2，3，5}，每一支队伍的队长编号分别为0、1、2.

那么这里就有三个集合，我们可以用树形图来表示：根节点为各队的队长

如果大家都是同一支队伍的话，肯定是相互认识的，所以上面的树形图还可以用来表示人际交往关系图，只要两个人不是在同一个集合里面，那么就互不认识。

根据上面的树形图我们可以使用数组的形式来表示，首先初始化，每一个元素标记为 -1：

根据树形图，数组可以变成下面：

---

在一些应用问题中，需要将n个不同的元素划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个单元素集
合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于那个集
合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-find set)

并查集实现

并查集底层使用的是数组，该数据结构的思想和树是类似的。

提供构造方法

    public UnionFindSet(int n) {
        elem = new int[n];
        Arrays.fill(elem, -1);
    }

这里使用了Arrays.fill方法，这个方法能将数组所有元素都填充为指定值。

查找根结点（重点）

根结点的标志性特征是元素值为负数，如果元素为正数，则需要一直向上寻找根结点，使用循环，先判断 elem[x] 是否为零，如果是则跳出循环，说明找到了最终的根结点，如果不是则需要继续查找，将 x 置为 elem[x]。

    //查找双亲结点
    public int findRoot(int x) {
        if(x < 0 || x >= elem.length) {
            throw new IndexOutOfBoundsException("x 不合法");
        }
        while(elem[x] >= 0) {
            x = elem[x];
        }
        return x;
    }

判断二者是否在同一个集合中

这个直接使用上面寻找根结点的方法来判断即可。

    //判断两个元素是否在同一个集合中
    public boolean isSameSet(int x1, int x2) {
        if(findRoot(x1) == findRoot(x2)) {
            return true;
        }
        return false;
    }

将两个元素合并到同一个集合中（重点）

首先两个元素如果就已经在同一个集合中的话，则直接返回即可。

如果不再同一个集合的话，我们需要先确定一件事情，并查集是互不相交的集合，意味着不能出现交集，也就是说，合并两个元素的本质其实就是将两个集合合并成一个集合。

既然要将两个集合合并成一个集合的话，我们就需要先找到两个集合的根节点。

然后将一个根节点作为最终集合的根结点，另一个根节点直接合并进去即可

那么我们要修改S1 根节点的数值，由于根节点的数值的绝对值表示这个集合一共有多少个结点，所以将原先两个集合的根节点的数值相加就是最终根节点的数值。

最后我们要修改 S2 根节点的数值，将其置为 S1 的根节点的索引值，这样这个结点就变成普通的集合结点了。

    //将两个元素合并到同一个集合中
    public void union(int x1, int x2) {
        if(isSameSet(x1,x2)) {
            return;
        }
        int r1 = findRoot(x1);
        int r2 = findRoot(x2);
        elem[r1] += elem[r2];
        elem[r2] = r1;
    }

统计集合个数

集合个数等于所有树的根节点，当元素值为负数时，则其对应的索引值就是根结点，我们直接遍历数组即可。

    //统计集合的个数
    public int setSizes() {
        int count = 0;
        for(int x : elem) {
            if(x < 0) {
                count++;
            }
        }
        return count;
    }

并查集最终代码

import java.util.Arrays;

public class UnionFindSet {

    public int[] elem;

    public UnionFindSet(int n) {
        elem = new int[n];
        Arrays.fill(elem, -1);
    }

    //查找双亲结点
    public int findRoot(int x) {
        if(x < 0 || x >= elem.length) {
            throw new IndexOutOfBoundsException("x 不合法");
        }
        while(elem[x] >= 0) {
            x = elem[x];
        }
        return x;
    }

    //判断两个元素是否在同一个集合中
    public boolean isSameSet(int x1, int x2) {
        if(findRoot(x1) == findRoot(x2)) {
            return true;
        }
        return false;
    }

    //将两个元素合并到同一个集合中
    public void union(int x1, int x2) {
        if(isSameSet(x1,x2)) {
            return;
        }
        int r1 = findRoot(x1);
        int r2 = findRoot(x2);
        elem[r1] += elem[r2];
        elem[r2] = r1;
    }

    //统计集合的个数
    public int setSizes() {
        int count = 0;
        for(int x : elem) {
            if(x < 0) {
                count++;
            }
        }
        return count;
    }
}

实战演练

省份数量

解析：
当某一些城市有着直接或者间接连接的时候，那么这些城市可以认定为一个省份，如果把省份当成一个集合的话，那城市就是集合的结点，所以这道题目我们可以使用并查集来解决。

首先并查集创建一个数组，大小为 n (城市的个数)，然后开始遍历矩阵，当出现 1 的时候要进行两个元素（i，j）合并。

最后统计集合总数（即为省份总数）

class Solution {
    public int findRoot(int[] elem, int x) {
        while(elem[x] >= 0) {
            x = elem[x];
        }
        return x;
    }

    public void union(int[] elem, int x1, int x2) {
        int r1 = findRoot(elem, x1);
        int r2 = findRoot(elem, x2);
        if(r1 == r2) {
            return;
        }
        elem[r1] += elem[r2];
        elem[r2] = r1;
    }

    public int findCircleNum(int[][] isConnected) {
        int n = isConnected.length;
        int[] elem = new int[n];
        Arrays.fill(elem, -1);
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            for(int j = i + 1; j < n; j++) {
                if(isConnected[i][j] == 1) {
                    union(elem,i,j);
                }
            }
        }

        int count = 0;
        for(int x : elem) {
            if(x < 0) count++;
        }

        return count;
    }
}

等式方程的可满足性

解析：
当变量存在相等关系的时候，则说明这些变量可以表示同一个整数，如果这些变量又存在不相等的关系的话，则无法进行表示，举个例子：a == b, a != b，你说这个方程有解吗？

如果我们把相等的元素存在集合里，然后再次遍历字符串数组，发现不相等的关系的时候，需要判断这两个元素是否在同一个集合中，如果不在同一个集合中的话，则没有问题，如果在同一个集合中，则说明等式方程存在错误。

class Solution {
    public int findRoot(int[] elem, int x) {
        while(elem[x] >= 0) {
            x = elem[x];
        }
        return x;
    }

    public void union(int[] elem, int x1, int x2) {
        int r1 = findRoot(elem, x1);
        int r2 = findRoot(elem, x2);
        if(r1 == r2) {
            return;
        }
        elem[r1] += elem[r2];
        elem[r2] = r1;
    }

    public boolean equationsPossible(String[] equations) {
        int[] elem = new int[26];
        Arrays.fill(elem, -1);
        int n = equations.length;
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            if(equations[i].charAt(1) == '=') {
                union(elem, equations[i].charAt(0) - 'a', equations[i].charAt(3) - 'a');
            }
        }

        for(int i = 0; i < n; i++) {
            if(equations[i].charAt(1) == '!') {
                int r1 = findRoot(elem, equations[i].charAt(0) - 'a');
                int r2 = findRoot(elem, equations[i].charAt(3) - 'a');
                if(r1 == r2) {
                    return false;
                }
            }
        }

        return true;
    }
}