彻底学会系列：一、机器学习之梯度下降（1）

1 梯度下降概念

1.1 概念

梯度下降是一种优化算法，用于最小化一个函数的值，特别是用于训练机器学习模型中的参数，其基本思想是通过不断迭代调整参数的值，使得函数值沿着梯度的反方向逐渐减小，直至达到局部或全局最小值

1.2 理解

在实际业务中，一般多个特征对应一个目标结果值。即对一个多维复杂的方程组的每一维的特征权重进行计算，以求出这个方程局部或全局最小值。如果使用正规方程的进计算，计算量太大，时间及财力消耗巨大。采用梯度下降方法，选定一个经验初始值，一步步沿着梯度的反方向进行计算，使方程解尽快达到收敛，并得出最优解。

1.3 分类

• 批量梯度下降（Batch Gradient Descent）
• 随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent）
• 小批量梯度下降（Mini-batch Gradient Descent）

1.4 应用

梯度下降法是机器学习和优化领域中最常用的优化算法之一，被广泛应用于训练神经网络、线性回归、逻辑回归等各种机器学习模型中

2 梯度下降公式

2.1 表达公式

θ n + 1 = θ n − α ∗ g r a d i a n t \theta^{n+1} = \theta^n - \alpha * gradiant θn+1=θn−α∗gradiant

其中 α \alpha α表示学习率， g r a d i e n t gradient gradient表示梯度

θ n + 1 = θ n − α ∗ ∂ J ( θ ) ∂ θ \theta^{n+1} = \theta^n - \alpha * \frac{\partial J (\theta )}{\partial \theta} θn+1=θn−α∗∂θ∂J(θ)​

另一种写法

2.2 图示

2.3 每一维求解，一起找到 J ( θ ) J(\theta) J(θ)最小值

θ 0 n + 1 = θ 0 n − α ∗ ∂ J ( θ ) ∂ θ 0 \theta_0^{n+1} = \theta_0^n - \alpha * \frac{\partial J (\theta )}{\partial \theta_0} θ0n+1​=θ0n​−α∗∂θ0​∂J(θ)​
θ 1 n + 1 = θ 1 n − α ∗ ∂ J ( θ ) ∂ θ 1 \theta_1^{n+1} = \theta_1^n - \alpha * \frac{\partial J (\theta )}{\partial \theta_1} θ1n+1​=θ1n​−α∗∂θ1​∂J(θ)​
θ m n + 1 = θ m n − α ∗ ∂ J ( θ ) ∂ θ m \theta_m^{n+1} = \theta_m^n - \alpha * \frac{\partial J (\theta )}{\partial \theta_m} θmn+1​=θmn​−α∗∂θm​∂J(θ)​
…

3 梯度下降学习率

3.1 概念

梯度下降算法中的学习率learning rate 是一个非常重要的超参数，它控制了每次参数更新的步长大小。学习率决定了在梯度下降过程中参数更新的速度和稳定性

3.2 理解

为得到局部或全局最小函数值，特征权重按梯度反方向逐渐减小，这个减去的值，就叫作学习率或步长

3.3 调整策略

• 固定学习率: 将学习率设置为一个固定的常数，例如0.01或0.001。这是最简单的学习率调整策略，但可能不够灵活，无法适应不同问题和数据的特性。

• 学习率衰减（Learning Rate Decay）: 在训练过程中逐渐减小学习率，以使模型在接近最优解时更加稳定。常见的衰减策略包括指数衰减、分段衰减等。

• 自适应学习率（Adaptive Learning Rate）: 根据参数更新的情况动态地调整学习率。例如，AdaGrad、RMSProp、Adam等优化算法会根据梯度的历史信息来自适应地调整学习率，以更有效地更新参数。

• 学习率搜索（Learning Rate Search）: 在训练过程中动态地搜索最优的学习率。例如，可以使用学习率范围测试（Learning Rate Range Test）等方法来估计合适的学习率范围。

3.4 应用

• 学习率设置得太小，参数更新的步长就会很小，导致收敛速度缓慢，需要更多的迭代次数才能收敛到最优解，或者在达到最优解之前就提前停止。

• 学习率设置得太大，参数更新的步长就会很大，可能导致算法无法收敛，甚至发生震荡或发散。

  使用 η \eta η 表示学习率，下图3种学习率情况
  

3.5 设置学习率

学习率的是一个经验，把它设置成一个比较小的正整数，0.1、0.01、0.001、0.0001，just make

4 梯度下降实验步骤

1. 随机设置最优解 θ \theta θ ，
2. 随机生成一组数值 w 0 、 w 1 、 w 2 、 w n w_0、w_1、w_2、w_n w0​、w1​、w2​、wn​, 期望 为 0 方差 为 1 的正太分布数据。 、
3. 求梯度 g ，梯度代表曲线某点上的切线的斜率，沿着切线往下就相当于沿着坡度最陡峭的方向下降
4. if g < 0, 变大，if g > 0, 变小
5. 判断是否收敛 convergence，如果收敛跳出迭代，如果没有达到收敛，回第 3 步，继续迭代3~4步

收敛的判断标准是： 随着迭代进行损失函数Loss，变化非常微小甚至不再改变，即认为达到收敛