系统分析师-综合知识-应用数学与经济管理
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概述
本章节大概占7分， 其中1分的理论，其余为计算。
通常52题目为理论，53-58为计算题目，目标只扣1分。
本文只是给出了基本问题的基本解法，近几年的题目会有所变形和扩展，多做真题。根据题目分析出使用哪种解法。
最小生成树
带权的图最小代价全联通的问题，通常来解决管道铺设、路径选择等问题。
真题-给出图
- 22年5月真题 某乡有7个小山村A〜G，村与村之间原有小路可加宽修建公路的线路如下图所示(路边的数字表示路长的公里数)。为实现村村通公路，修建公路总长至少(55)公里。若在(56)村新建一所中学，则可以使人们从离它最远的村到该校所走的优化路程最短
- 解题方法
从最小的边开始取，取出n-1条边(n为顶点数)，取得过程中不可出现环路。
先取1.5
再取1.8
再取2, 只能取AC，取AD的时候出现了环路
在取3
在取4
相加 1.5*2+1.8+2+3+4=13.8。故选A
第二问在第一问的最小生成树上取中心点，得到E。故选D
真题-给出表
- 20年5月真题 某乡8个小村(编号为1~8)之间的距离如表1-2(单位：km)。1号村离水库最近，为 5km，从水库开始铺设水管将各村连接起来，最少需要铺设 (55)长的水管(为便于管理和维修，水管分叉必须设在各村处)。
- 解题方法
从最小的边开始取，取出n-1条边(n为顶点数)，取得过程中不可出现环路。
先取最小的0.5
在取次小的0.8
在取次小的1.0
相加 0.5+0.8+5*1.0=6.3, 加上水库到1号村庄的5km等于11.3km。故选B。
最短路径
带权的图从起点到终点最短路径
- 19年5月真题 下表记录了六个结点：A、B、C、D、E、F之间的路径方向和距离，从A到F的最短距离是(56)
- 分别计算
A -> B : 11
A -> C : 16
A -> B -> C: 11 + 13 = 24
A -> D : 24
A -> B -> D: 11 + 16 = 27
A -> C -> D: 16 + 14 = 30
A -> E : 36
A -> B -> E : 11 + 21 = 32
A -> C -> E : 16 + 17 = 33
A -> D -> E : 24 + 14 = 38
A -> F : 54
A -> B -> F : 11 + 29 = 40
A -> C -> F : 16 + 22 = 38
A -> D -> F : 24 + 17 = 41
A -> E -> F : 36 + 15 = 41
故选A
关键路径
关键路径基本
同最短路径，不同的保留最大的。近几年项目工期问题不在只考察关键路径了。
- 19年5月真题 某项目有A~H八个作业,各作业所需时间(单位:周)以及紧前作业如下表
该项目的工期为( )周。如果作业C 拖延3 周完成,则该项目的工期()
画图
A -> B : 1
A -> C : 1
A -> D : 1
A -> B -> E : 1 + 3 = 4
A -> C -> E : 1 + 3 = 4
A -> C -> F : 1 + 3 = 4
A -> D -> F : 1 + 5 = 6
A -> D -> G : 1 + 5 = 6
A -> E -> H : 4 + 7 = 11
A -> F -> H : 6 + 6 = 12
A -> G -> H : 6 + 5 = 11
A -> End = 12 + 1 = 13, 故选A
关键路径为 A D F H 1 + 5 + 6 + 1
若C延期3周, C = 6
从新计算关键路径为 A C E H = 1 + 6 + 7 + 1 = 15 , 故选C
关键路径升级
- 23年5月真题 某项目共有A~G七道工序，各道工序所需的时间(天数)以及工序之间的行关系如下表。该项目计划的最短工期为(54)天。假设每道工序只需要一人做，每个人都可以做所有各道工序，但不能同时做多道工序，那么该项目至少需要(55)
- 第一问是关键路径, 第二问是延伸问题并变化较多
关键路径为A C G = 24, 故答案为D
A D 并行
B C 并行
G E+F 并行
需要2人，故答案为B。
网络与最大流量
依次减去流量
- 22年上午真题 某地天然气输送管线网络图如下，每段管线旁边数字表示输气能力(单位：万立方米/小时)。根据该图，从源s到目的地T的最大输气能力为(57)位：万立方米/小时
- S->A 运走4
- S->B 只能运走2
- S->C 运走2
- S->D 运走1
4+2+2+1 = 9 , 故选C。
指派问题
最小解
- 20年11月真题 甲、乙、丙、丁四个任务分配在A.B.C.D四台机器上执行，每台机器执行一个任务，所需的成本(单位：百元)如表1-3所示。适当分配使总成本最低的最优方案中，任务乙应由机器 (57) 执行。
- 第一步 找到行中最小的, 然后每行够减去这个值
- 第二步 找到列中最小的, 然后每列够减去这个值
- 预指派 从包含0行最少的行开始
甲->A
乙->B
丙行没有0, 需要继续变换
- 划线 一行只有一个0划竖线, 多个0画横线
找到未被划线中的最小的, 未被划线的行减最小值，列加最小值，0不参与。
- 预指派 从包含0行最少的行开始
甲->A
丙->B
乙->C
丁->D, 故选C。
最大解
- 21年05月真题 某工厂分配四个工人甲、乙、丙、丁同时去操作四台机床A、B、C、D，每人分配其中的一台。己知每个工人操作每台机床每小时的效益值如表1-3所示，则总效益最高的最优分配方案共有(57)个
- 最大值先做变换, 所以元素减去最大值6后取绝对值
- 第一步 找到行中最小的, 然后每行够减去这个值
- 第二步 找到列中最小的, 然后每列够减去这个值
-
预指派 甲->D 之后 丁行没有0
-
划线 一行只有一个0划竖线, 多个0画横线
- 预指派
因甲、丙、丁均有2个0，于是有以下三种情况。
甲A 丙B 丁D 乙C = 5 + 5 + 3 + 5 = 18
丙A 甲C 丁D 乙B = 5 + 6 + 3 + 4 = 18
丁A 甲C 丙B 乙D = 5 + 4 + 4 + 5 = 18
线性规划
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在一组约束条件下寻找目标极值的问题
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线性规划问题的数学模型通常由线性目标函数、线性约束条件、决策变量组成(实际问题中的变量一般都是非负的)。
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线性规划问题就是面向实际应用，求解一组非负变量，使其满足给定的一组线性约束条件
并使某个线性目标函数达到极值。满足这些约束条件的非负变量组的集合称为可行解域。
可行解域中使目标函数达到极值的解称为最优解。 -
线性规划问题的最优解要么是0个(没有) ，要么是唯一的(1个) ，要么有无穷个 (只要
有2个，就会有无穷个)。
在实际应用中，可以直接求约束条件方程组的解，即是交叉点，将这些解代入到目标函数
中判断是否极值即可。 -
线性规划的标准形式有四个特点：
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近几年线性规划主要考理论而非计算了
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2018年真题 某厂拥有三种资源A、B、C生产甲、乙两种产品。生产每吨产品需要消耗的资源、可以获得的利润见下表。日前，该厂拥有资源A、资源B和资源C分別为12吨，7吨和12吨。根据上述说明，适当安排甲、乙两种产品的生产量，就能获得最大总利润( )。如果生产计 划只受资源 A和C的约束，资源 B很容易从市场上以每吨 0.5 百万元购得，则该厂宜再购买( )资源B，以获得最大的总利润。
设生产甲x, 乙y, 最大利润z。
目标函数 z=3x+2y
约束条件:
资源A 2x+y<=12
资源B x+y<=7
资源C x+2y<=12
x>=0,y>=0
标准解法为画图, 然后找交点合围区域为可行解, 三条线应该有三个交点，两两一组求解。
最大利润为19,故选C
不考虑B的约束, 则上边C的解作为最大利润解, x=4,y=4, 这对于B 需要8吨, 故需要购买一吨, 选A
决策论
悲观、乐观、折中、等可能
- 20年11月真题 某企业有三种方案A1，A2，A3可供选择，各种方案面对三种可能的市场状态S1，S2，S3可以获得的利润F(Ai，Sj)如下表(单位：负值表示损额)，企业应依据合适的决策准则来选择方案。以下对决策过程的叙述中，(57)并不正确
- 乐观方案大中取大, A3, 故A正确
- 保守方案小中取大, A2, 故B正确
- 等可能性方案小中取大, A1, 故C正确
- 折中方案 max(最大收益 * a + 最小收益 * (1-a)) a=0.6, A3，故选D。
后悔值
以上题为例,最后悔值矩阵, 列最大值减去列值, 没选盈利最大的场景，若盈利了少赚了多少。min(max后悔值), 故若最小后悔值方案选择A1方案。
运输问题(伏格尔法)
- 2018年5月真题 设三个煤场A、B、C分别能供应煤12/14/10万吨，三个工厂X、Y、Z分别需要煤11、12、13万吨，从个煤场到个工厂运煤的单价(百元吨)见下表方框内的数字，只要选择最优的运输方案，总的运输成本就能降到()百万元。
- 取行列的最大与最小的差值, 并找到最大的, 差值越大说明选小的的收益越好。
- 优先分配最大差值(5)中最小的(1), 若有相同任意一个即可。煤场A为工厂Y供应12吨。
- 取行列的最大与最小的差值, 并找到最大的, 差值越大说明选小的的收益越好。
- 优先分配最大差值(4)中最小的(3), 煤场B为工厂Z供应13吨。
- 煤场B为工厂X供应1吨，煤场C为工厂X供应10吨
1x12 + 2x1 + 3x13 + 3x10 = 83 , 故选A
数学建模
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数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象和简化，建立能近似刻画并解决实际问题的模型的种强有力的数学手段。
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数学建摸过程
模型准备:了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来播述问题。
模型假设:根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
模型建立:在假设的基础上，利用适当的数字工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。只要能够把问题描述清楚，尽量使用简单的数字工具。
模型求解:利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算(估计) 。
模型分析:对所得的结果进行数学上的分析。
模型检验: 将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建摸过程
模型应用:应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
- 数学建模方法
直接分析法: 根据对问题直接的内在的认识，直接构造出模型
类比法: 根据之前类似的模型构造出一个新的模型。
数据分析法:通过实验获得与问题相关的大量数据，用统计分析的方法来进行建模。
构想法: 对将来可能发生的情况给出逻辑上合理的方法和描述，而后用现有的方法来建模然后不断的完善。