62.不同路径
题目链接：62.不同路径
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？
思路
可以建立一个二维dp数组，二维数组中的每个值代表着到达当前下标有多少种不同路径。
首先是初始化，因为机器人只能够向下或向右移动，因此对于所有的i，dp[0][i]都为1，对于所有的j，dp[j][0]也都为1。
然后是遍历顺序，用两层循环来遍历，外层循环是从上到下，内层循环是从左到右进行遍历。
递推式为:dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]。
以示例1为例子，dp数组如下所示：
正确。
另外，注意到dp数组横向的每一层可以直接取代上一层，而对其他元素没有影响，因此可以被压缩成一维的数组，这时递推式为：dp[j] = dp[j] + dp[j - 1]。
初始化时dp[j]均为1。
C++实现
// 原写法
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<vector<int>>dp(m, vector<int>(n, 0));
for(int i = 0;i<m;i++) dp[i][0] = 1;
for(int j = 0;j<n;j++) dp[0][j] = 1;
for(int i = 1;i<m;i++){
for(int j = 1;j<n;j++){
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};
// 将dp数组压缩成一维数组
class Solution {
public:
int uniquePaths(int m, int n) {
vector<int> dp(n, 1);
for(int i = 1;i<m;i++){
for(int j = 1;j<n;j++){
dp[j] = dp[j] + dp[j - 1];
}
}
return dp[n - 1];
}
};
62.不同路径 II
题目链接：62.不同路径 II
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
思路
建立一个二维的dp数组，其中每一个下标代表了到达当前位置有多少条不同的路径。
首先是初始化，对第一层和第一列进行初始赋值。在第一层，从左往右遍历，如果没有遇到石块，当前的dp[0][j] = 1，如果遇到了石块，当前dp[0][j] = 0，并且该层之后的每一项都为0。对第一列的赋值同理。因为机器人只能向下或向右移动，如果在第一层或第一列遇到了石块，那么第一层或第一列的其他位置都到达不了。
然后确定递推式:
如果(i,j)这个位置是石块：dp[i][j] = 0;
否则：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
遍历顺序同样是两层循环，外层是从上到下，内层是从左往右遍历。
与不同路径类似，这道题的dp数组也可以压缩成一维的，类似于滚动数组。
C++实现
// 原写法
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
int m = obstacleGrid.size(), n = obstacleGrid[0].size();
vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 0));
for(int i = 0;i<m;i++){
if(obstacleGrid[i][0] == 1) break;
else dp[i][0] = 1;
}
for(int j = 0;j<n;j++){
if(obstacleGrid[0][j] == 1) break;
else dp[0][j] = 1;
}
for(int i = 1;i<m;i++){
for(int j = 1;j<n;j++){
if(obstacleGrid[i][j] == 1) dp[i][j] = 0;
else dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
}
return dp[m - 1][n - 1];
}
};
// 滚动数组
class Solution {
public:
int uniquePathsWithObstacles(vector<vector<int>>& obstacleGrid) {
int m = obstacleGrid.size(), n = obstacleGrid[0].size();
vector<int> dp(n, 0);
for(int j = 0;j<n;j++){
if(obstacleGrid[0][j] == 1) dp[j] = 0;
else if(j == 0) dp[j] = 1;
else dp[j] = dp[j - 1];
}
for(int i = 1;i<m;i++){
for(int j = 0;j<n;j++){
if(obstacleGrid[i][j] == 1) dp[j] = 0;
else if(j != 0) dp[j] = dp[j] + dp[j - 1];
}
}
return dp[n - 1];
}
};