正交投影矩阵与透视投影矩阵的推导

正交投影矩阵

正交投影矩阵的视锥体是一个长方体 [ l , r ] [ b , t ] [ f , n ] [l,r][b,t][f,n] [l,r][b,t][f,n]，我们要把这个长方体转换到一个正方体 [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ] [-1,1][-1,1][-1,1] [−1,1][−1,1][−1,1]中，如下图所示

第一步为平移，计算出长方体的中心点为 [ ( l + r ) / 2 , ( b + t ) / 2 , ( f + n ) / 2 ] [(l+r)/2,(b+t)/2,(f+n)/2] [(l+r)/2,(b+t)/2,(f+n)/2]，然后将中心点移动到原点，矩阵为
M t r a n s l a t e = [ 1 0 0 − ( l + r ) / 2 0 1 0 − ( b + t ) / 2 0 0 1 − ( f + n ) / 2 0 0 0 1 ] \mathbf M_{translate} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -(l+r)/2 \\ 0 & 1 & 0 & -(b+t)/2 \\ 0 & 0 & 1 & -(f+n)/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} Mtranslate​= ​1000​0100​0010​−(l+r)/2−(b+t)/2−(f+n)/21​ ​
第二步为缩放，例如从 [ l , r ] [l,r] [l,r]缩放到 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]，缩放系数为 2 / ( r − l ) 2/(r-l) 2/(r−l)，所以矩阵为
M s c a l e = [ 2 / ( r − l ) 0 0 0 0 2 / ( t − b ) 0 0 0 0 2 / ( n − f ) 0 0 0 0 0 ] \mathbf M_{scale} = \begin{bmatrix} 2/(r-l) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2/(t-b) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2/(n-f) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} Mscale​= ​2/(r−l)000​02/(t−b)00​002/(n−f)0​0000​ ​
综上，正交投影矩阵为 M o r t h o = M s c a l e ∗ M t r a n s l a t e \mathbf M_{ortho} = \mathbf M_{scale} * \mathbf M_{translate} Mortho​=Mscale​∗Mtranslate​

透视投影矩阵

透视投影矩阵的视锥体是一个四棱锥的一部分，其中近平面为 z = n z=n z=n，远平面为 z = f z=f z=f，我们要把这个视锥体转换到一个正方体 [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ] [-1,1][-1,1][-1,1] [−1,1][−1,1][−1,1]中，可以先把远平面压缩，把视锥体压缩成一个长方体，然后再通过正交投影矩阵就可以变换到正方体中，如图。

视锥体压缩矩阵的求解

我们定义视锥体压缩的矩阵为 M p e r s p − > o r t h o \mathbf M_{persp->ortho} Mpersp−>ortho​，在把视锥体压缩成长方体的过程中，我们规定三个原则

1. 近平面的所有点坐标不变
2. 远平面的所有点坐标 z z z值不变，都是 f f f
3. 远平面的中心点坐标值不变，为 ( 0 , 0 , f ) (0,0,f) (0,0,f)

首先，设 M p e r s p − > o r t h o \mathbf M_{persp->ortho} Mpersp−>ortho​为如下式子，先将所有元素设为未知数：
M p e r s p − > o r t h o = [ A B C D E F G H I J K L M N O P ] \mathbf M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} A & B & C & D \\ E & F & G & H \\ I & J & K & L \\ M & N & O & P \\ \end{bmatrix} Mpersp−>ortho​= ​AEIM​BFJN​CGKO​DHLP​ ​
对于视锥体内的任意一点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)，压缩以后的 x , y x,y x,y坐标应该与近平面上对应的点相同，如下图所示，根据三角形的相似关系，我们可以得到 x , = n x / z , y , = n y / z x^, = nx/z, y^, = ny/z x,=nx/z,y,=ny/z。

因此对于齐次坐标表示的 ( x , y , z , 1 ) (x,y,z,1) (x,y,z,1)一点，它在视锥体压缩后的坐标为 ( n x / z , n y / z , u n k n o w , 1 ) (nx/z,ny/z,unknow,1) (nx/z,ny/z,unknow,1)，这里我们新的 z , z^, z,值还不知道，暂不讨论。为了便于后续的计算，压缩后的坐标为 ( n x , n y , u n k n o w , z ) (nx,ny,unknow,z) (nx,ny,unknow,z)。我们有下面的式子：
M p e r s p − > o r t h o ⋅ [ x y z 1 ] = [ n x n y u n k n o w n z ] \mathbf M_{persp->ortho} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} nx\\ ny\\ unknown\\ z \end{bmatrix} Mpersp−>ortho​⋅ ​xyz1​ ​= ​nxnyunknownz​ ​
将式子展开，我们有：
A x + B y + C z + D = n x E x + F y + G z + H = n y M x + N y + O z + P = z Ax + By + Cz + D = nx\\ Ex + Fy + Gz + H = ny\\ Mx + Ny + Oz + P = z Ax+By+Cz+D=nxEx+Fy+Gz+H=nyMx+Ny+Oz+P=z
可知：
A = n , B = 0 , C = 0 , D = 0 E = 0 , F = n , G = 0 , H = 0 M = 0 , N = 0 , O = 1 , P = 0 A = n,B = 0,C = 0,D = 0\\ E = 0,F = n,G = 0,H = 0\\ M = 0,N = 0, O = 1, P = 0 A=n,B=0,C=0,D=0E=0,F=n,G=0,H=0M=0,N=0,O=1,P=0
这时，我们知晓了矩阵中12个位置数的值，此时的矩阵如下，还剩 I , J , K , L I,J,K,L I,J,K,L四个未知数。
M p e r s p − > o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 I J K L 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ I & J & K & L\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp−>ortho​= ​n0I0​0nJ0​00K1​00L0​ ​

接下来考虑三原则中第一个原则，近平面的所有点坐标不变。对于近平面上的一点 ( x , y , n , 1 ) (x,y,n,1) (x,y,n,1)，有下式：
[ n 0 0 0 0 n 0 0 I J K L 0 0 1 0 ] ⋅ [ x y n 1 ] = [ n x n y n ∗ n n ] \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ I & J & K & L\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y\\ n\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} nx\\ ny\\ n*n\\ n \end{bmatrix} ​n0I0​0nJ0​00K1​00L0​ ​⋅ ​xyn1​ ​= ​nxnyn∗nn​ ​
其中后式是为了配平方程，我们将齐次坐标 ( x , y , z , 1 ) (x,y,z,1) (x,y,z,1)等价变为 ( n x , n y , n ∗ n , n ) (nx,ny,n*n,n) (nx,ny,n∗n,n)。

根据矩阵的第三行展开计算，可以得到
I x + J y + K n + L = n ∗ n Ix + Jy + Kn+L = n*n\\ Ix+Jy+Kn+L=n∗n
于是有

I = 0 , J = 0 K n + L = n ∗ n \begin{align} I = 0,J = 0 \nonumber \\ Kn + L = n * n \\ \end{align} I=0,J=0Kn+L=n∗n​​

此时矩阵如下，还剩 K , L K,L K,L两个未知数。
M p e r s p − > o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 K L 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & K & L\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp−>ortho​= ​n000​0n00​00K1​00L0​ ​

最后考虑三原则中第三个原则，远平面的中心点坐标值不变，为 ( 0 , 0 , f , 1 ) (0,0,f,1) (0,0,f,1)。我们有下式：
[ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 K L 0 0 1 0 ] ⋅ [ 0 0 f 1 ] = [ 0 0 f ∗ f f ] \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & K & L\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ f\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ f*f\\ f \end{bmatrix} ​n000​0n00​00K1​00L0​ ​⋅ ​00f1​ ​= ​00f∗ff​ ​
后式同样是为了配平方程，我们将齐次坐标 ( 0 , 0 , f , 1 ) (0,0,f,1) (0,0,f,1)等价变为 ( 0 , 0 , f ∗ f , f ) (0,0,f*f,f) (0,0,f∗f,f)。

根据矩阵的第三行展开计算，可以得到
K f + L = f ∗ f \begin{align} Kf + L = f*f \end{align} Kf+L=f∗f​​
联立 ( 1 ) ( 2 ) (1)(2) (1)(2)两式，我们最终能够解得
K = n + f L = − n f K = n + f\\ L = -nf K=n+fL=−nf
此时，我们终于求得了 M p e r s p − > o r t h o \mathbf M_{persp->ortho} Mpersp−>ortho​矩阵
M p e r s p − > o r t h o = [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp->ortho} = \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp−>ortho​= ​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​ ​

透视投影矩阵的求解

乘上正交投影矩阵 M o r t h o \mathbf M_{ortho} Mortho​，我们便可以得到透视投影矩阵 M p e r s p \mathbf M_{persp} Mpersp​
M p e r s p = M o r t h o ⋅ M p e r s p − > o r t h o = [ 2 / ( r − l ) 0 0 0 0 2 / ( t − b ) 0 0 0 0 2 / ( n − f ) 0 0 0 0 0 ] ⋅ [ 1 0 0 − ( l + r ) / 2 0 1 0 − ( b + t ) / 2 0 0 1 − ( f + n ) / 2 0 0 0 1 ] ⋅ [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp} = \mathbf M_{ortho} \cdot \mathbf M_{persp->ortho} =\\ \begin{bmatrix} 2/(r-l) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2/(t-b) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2/(n-f) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -(l+r)/2 \\ 0 & 1 & 0 & -(b+t)/2 \\ 0 & 0 & 1 & -(f+n)/2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} n & 0 & 0 & 0\\ 0 & n & 0 & 0\\ 0 & 0 & n+f & -nf\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp​=Mortho​⋅Mpersp−>ortho​= ​2/(r−l)000​02/(t−b)00​002/(n−f)0​0000​ ​⋅ ​1000​0100​0010​−(l+r)/2−(b+t)/2−(f+n)/21​ ​⋅ ​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​ ​

透视矩阵一般是由 f o v , a s p e c t , f a r , n e a r fov,aspect,far,near fov,aspect,far,near四个参数定义的，我们尝试用这四个参数来表示上式中的 n , f , t , b , r , l n,f,t,b,r,l n,f,t,b,r,l六个参数。其中 f o v fov fov表示视场角， a s p e c t aspect aspect表示宽高比， f a r , n e a r far,near far,near分别表示远平面和近平面。

易知， n = n e a r , f = f a r n = near,f = far n=near,f=far。

根据上图的三角关系，我们有
t = n e a r ∗ t a n ( f o v 2 ) , b = − n e a r ∗ t a n ( f o v 2 ) r = a s p e c t ∗ n e a r ∗ t a n ( f o v 2 ) , l = − a s p e c t ∗ n e a r ∗ t a n ( f o v 2 ) t = near * tan(\frac{fov}{2}),b = -near * tan(\frac{fov}{2})\\ r = aspect * near * tan(\frac{fov}{2}), l = -aspect * near * tan(\frac{fov}{2}) t=near∗tan(2fov​),b=−near∗tan(2fov​)r=aspect∗near∗tan(2fov​),l=−aspect∗near∗tan(2fov​)
最终，我们得到的透视投影矩阵为
M p e r s p = [ c o t ( f o v ) 2 ∗ a s p e c t ∗ n e a r 0 0 0 0 c o t ( f o v ) 2 0 0 0 0 n e a r + f a r n e a r − f a r − 2 ∗ n e a r ∗ f a r n e a r − f a r 0 0 1 0 ] \mathbf M_{persp} = \begin{bmatrix} \frac{cot(fov)}{2*aspect*near} & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{cot(fov)}{2} & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{near+far}{near-far} & -\frac{2*near*far}{near-far}\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} Mpersp​= ​2∗aspect∗nearcot(fov)​000​02cot(fov)​00​00near−farnear+far​1​00−near−far2∗near∗far​0​ ​

参考

https://zhuanlan.zhihu.com/p/122411512