【数学 分类讨论】2029. 石子游戏 IX

本文涉及知识

质数、最大公约数、菲蜀定理

LeetCode 2029. 石子游戏 IX

Alice 和 Bob 再次设计了一款新的石子游戏。现有一行 n 个石子，每个石子都有一个关联的数字表示它的价值。给你一个整数数组 stones ，其中 stones[i] 是第 i 个石子的价值。
Alice 和 Bob 轮流进行自己的回合，Alice 先手。每一回合，玩家需要从 stones 中移除任一石子。
如果玩家移除石子后，导致 所有已移除石子 的价值 总和 可以被 3 整除，那么该玩家就 输掉游戏 。
如果不满足上一条，且移除后没有任何剩余的石子，那么 Bob 将会直接获胜（即便是在 Alice 的回合）。
假设两位玩家均采用 最佳 决策。如果 Alice 获胜，返回 true ；如果 Bob 获胜，返回 false 。
示例 1：
输入：stones = [2,1]
输出：true
解释：游戏进行如下：

• 回合 1：Alice 可以移除任意一个石子。
• 回合 2：Bob 移除剩下的石子。
  已移除的石子的值总和为 1 + 2 = 3 且可以被 3 整除。因此，Bob 输，Alice 获胜。
  示例 2：
  输入：stones = [2]
  输出：false
  解释：Alice 会移除唯一一个石子，已移除石子的值总和为 2 。
  由于所有石子都已移除，且值总和无法被 3 整除，Bob 获胜。
  示例 3：
  输入：stones = [5,1,2,4,3]
  输出：false
  解释：Bob 总会获胜。其中一种可能的游戏进行方式如下：
• 回合 1：Alice 可以移除值为 1 的第 2 个石子。已移除石子值总和为 1 。
• 回合 2：Bob 可以移除值为 3 的第 5 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 = 4 。
• 回合 3：Alices 可以移除值为 4 的第 4 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 = 8 。
• 回合 4：Bob 可以移除值为 2 的第 3 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 + 2 = 10.
• 回合 5：Alice 可以移除值为 5 的第 1 个石子。已移除石子值总和为 = 1 + 3 + 4 + 2 + 5 = 15.
  Alice 输掉游戏，因为已移除石子值总和（15）可以被 3 整除，Bob 获胜。
  提示：
  1 <= stones.length <= 10
  1 <= stones[i] <= 10

数学

由于只考虑是被3整除，所以0,3,6,9 ⋯ \cdots ⋯和0一样，全换成0。
{ x 换成 0 0 = x m o d    3 x 换成 1 1 = = x m o d    3 x 换成 2 2 = = x m o d    3 \begin{cases} x换成0 && 0 = x \mod 3 \\ x换成1 && 1 == x\mod 3 \\ x换成2 && 2 ==x\mod 3 \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​x换成0x换成1x换成2​​0=xmod31==xmod32==xmod3​

假定没有0

如果 先手选择1，则只只能是 1,1,2,1,2,1,2 ⋯ \cdots ⋯
如果 先手选择2，则只能是2,2,1,2,1,2 ⋯ \cdots ⋯
令cnt[1]是1或2较少的数量,ctn[2]是1或2较多的数量。
Bob和Alice所有选择必须和Alice的首次相同，Alice除第一次外，全部和第一次相反。
显然Alice选择数少的数，必胜。B必定无法选择。
如果选择多的数，多的数只有1个，必胜。少的数比多的数，只少一个，B无法选择而胜。两种情况其实是一种情况。
{ B 无法选择而失败 c n t [ 2 ] − 2 < c n t [ 1 ] 选择完毕 A 失败 c n t [ 1 ] + 2 = = c n t [ 2 ] A 无法选择而失败 c n t [ 2 ] − 2 > c n t [ 1 ] \begin{cases} B无法选择而失败 && cnt[2]-2 < cnt[1] \\ 选择完毕A失败 && cnt[1]+2 == cnt[2] \\ A无法选择而失败 &&cnt[2]-2 > cnt[1] \\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​B无法选择而失败选择完毕A失败A无法选择而失败​​cnt[2]−2<cnt[1]cnt[1]+2==cnt[2]cnt[2]−2>cnt[1]​
如果选择

特殊情况，只有一个数，即数少的数数量为0。无法选择。

如果有0

如果有偶数个0，A选择少的必胜。
如果有奇数个0,A选择少的必败。选择多的。
选择完毕而失败，奇数个0，仍然是失败。
其它相反。
特殊情况：首回合不能选0，1和2的总数量为0和1时触发，其它情况不会触发。

如果只有 1或2

A必输。
0个数，无数可选而输。
1个数，数选完而输。
2个数，数选完而输。
3个数及以上，如果0是偶数，第三次是A无法选择；否则,B无法选择。
故只有1或2时，(cnt[2]>=3)&&(1&cnt[0])。

总结

{ ( c n t [ 2 ] > = 3 ) ( 1 c n t [ 0 ] ) c n t [ 1 ] = = 00 t r u e c n t [ 0 ] 是偶数 c n t [ 2 ] − 2 > c n t [ 1 ] o t h e r \begin{cases} (cnt[2]>=3)&&(1&cnt[0]) && cnt[1]==00 \\ true && cnt[0]是偶数 \\ cnt[2] - 2 > cnt[1]&&other\\ \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧​(cnt[2]>=3)truecnt[2]−2>cnt[1]​​(1cnt[0]是偶数other​cnt[0])cnt[1]==00

代码

核心代码

class Solution {
public:
	bool stoneGameIX(vector<int>& stones) {
		int cnt[3] = { 0 };
		for (const auto& n : stones) {
			cnt[n % 3]++;
		}
		if (cnt[1] > cnt[2]) {
			swap(cnt[1], cnt[2]);
		}
		if (0 == cnt[1] ) { return (cnt[2]>=3)&&(1&cnt[0]); }
		if (0 == cnt[0] % 2) { return true; }
		return cnt[2] - 2 > cnt[1];
	}
};

单元测试

template<class T1, class T2>
void AssertEx(const T1& t1, const T2& t2)
{
	Assert::AreEqual(t1, t2);
}

template<class T>
void AssertEx(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	Assert::AreEqual(v1.size(), v2.size());
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert::AreEqual(v1[i], v2[i]);
	}
}

template<class T>
void AssertV2(vector<vector<T>> vv1, vector<vector<T>> vv2)
{
	sort(vv1.begin(), vv1.end());
	sort(vv2.begin(), vv2.end());
	Assert::AreEqual(vv1.size(), vv2.size());
	for (int i = 0; i < vv1.size(); i++)
	{
		AssertEx(vv1[i], vv2[i]);
	}
}

namespace UnitTest
{
	vector<int> stones;
	TEST_CLASS(UnitTest)
	{
	public:
		TEST_METHOD(TestMethod00)
		{
			stones = { 2,1 };
			auto res = Solution().stoneGameIX(stones);
			AssertEx(true, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod01)
		{
			stones = { 2 };
			auto res = Solution().stoneGameIX(stones);
			AssertEx(false, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod02)
		{
			stones = { 5,1,2,4,3 };
			auto res = Solution().stoneGameIX(stones);
			AssertEx(false, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod03)
		{
			stones = { 2,3 };
			auto res = Solution().stoneGameIX(stones);
			AssertEx(false, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod04)
		{
			stones = {3 };
			auto res = Solution().stoneGameIX(stones);
			AssertEx(false, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod05)
		{
			stones = { 2,2,3 };
			auto res = Solution().stoneGameIX(stones);
			AssertEx(false, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod06)
		{
			stones = { 20,3,20,17,2,12,15,17,4 };
			auto res = Solution().stoneGameIX(stones);
			AssertEx(true, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod07)
		{
			stones = { 2,3,2,2 };
			auto res = Solution().stoneGameIX(stones);
			AssertEx(true, res);
		}
	};
}

扩展阅读

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。