涉及知识点
最大公约 调和级数 并集查找（并差集)
质数、最大公约数、菲蜀定理
LeetCode 2709. 最大公约数遍历
给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，你可以在一些下标之间遍历。对于两个下标 i 和 j（i != j），当且仅当 gcd(nums[i], nums[j]) > 1 时，我们可以在两个下标之间通行，其中 gcd 是两个数的 最大公约数 。
你需要判断 nums 数组中 任意 两个满足 i < j 的下标 i 和 j ，是否存在若干次通行可以从 i 遍历到 j 。
如果任意满足条件的下标对都可以遍历，那么返回 true ，否则返回 false 。
示例 1：
输入：nums = [2,3,6]
输出：true
解释：这个例子中，总共有 3 个下标对：(0, 1) ，(0, 2) 和 (1, 2) 。
从下标 0 到下标 1 ，我们可以遍历 0 -> 2 -> 1 ，我们可以从下标 0 到 2 是因为 gcd(nums[0], nums[2]) = gcd(2, 6) = 2 > 1 ，从下标 2 到 1 是因为 gcd(nums[2], nums[1]) = gcd(6, 3) = 3 > 1 。
从下标 0 到下标 2 ，我们可以直接遍历，因为 gcd(nums[0], nums[2]) = gcd(2, 6) = 2 > 1 。同理，我们也可以从下标 1 到 2 因为 gcd(nums[1], nums[2]) = gcd(3, 6) = 3 > 1 。
示例 2：
输入：nums = [3,9,5]
输出：false
解释：我们没法从下标 0 到 2 ，所以返回 false 。
示例 3：
输入：nums = [4,3,12,8]
输出：true
解释：总共有 6 个下标对：(0, 1) ，(0, 2) ，(0, 3) ，(1, 2) ，(1, 3) 和 (2, 3) 。所有下标对之间都存在可行的遍历，所以返回 true 。
提示：
1 <= nums.length <= 10
1 <= nums[i] <= 10
并集查找
每个数的下标都看成一个节点，最大公约数大于1，则相连。本题 ⟺ \iff ⟺ 只有一个连通区域。
枚举x ∈ \in ∈ [2,m] ，如果nums[i]是x的倍数，则和前一个x的倍数相连。时间复杂度:O(nlogn)，就是n × \times ×调和级数之和。
一，将相同的值x连接起来，x>1。
二，将x的倍数连起来。
三，判断是否只有一个连通区域。
代码
核心代码
class CUnionFind
{
public:
CUnionFind(int iSize) :m_vNodeToRegion(iSize)
{
for (int i = 0; i < iSize; i++)
{
m_vNodeToRegion[i] = i;
}
m_iConnetRegionCount = iSize;
}
CUnionFind(vector<vector<int>>& vNeiBo):CUnionFind(vNeiBo.size())
{
for (int i = 0; i < vNeiBo.size(); i++) {
for (const auto& n : vNeiBo[i]) {
Union(i, n);
}
}
}
int GetConnectRegionIndex(int iNode)
{
int& iConnectNO = m_vNodeToRegion[iNode];
if (iNode == iConnectNO)
{
return iNode;
}
return iConnectNO = GetConnectRegionIndex(iConnectNO);
}
void Union(int iNode1, int iNode2)
{
const int iConnectNO1 = GetConnectRegionIndex(iNode1);
const int iConnectNO2 = GetConnectRegionIndex(iNode2);
if (iConnectNO1 == iConnectNO2)
{
return;
}
m_iConnetRegionCount--;
if (iConnectNO1 > iConnectNO2)
{
UnionConnect(iConnectNO1, iConnectNO2);
}
else
{
UnionConnect(iConnectNO2, iConnectNO1);
}
}
bool IsConnect(int iNode1, int iNode2)
{
return GetConnectRegionIndex(iNode1) == GetConnectRegionIndex(iNode2);
}
int GetConnetRegionCount()const
{
return m_iConnetRegionCount;
}
vector<int> GetNodeCountOfRegion()//各联通区域的节点数量
{
const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();
vector<int> vRet(iNodeSize);
for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)
{
vRet[GetConnectRegionIndex(i)]++;
}
return vRet;
}
std::unordered_map<int, vector<int>> GetNodeOfRegion()
{
std::unordered_map<int, vector<int>> ret;
const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();
for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)
{
ret[GetConnectRegionIndex(i)].emplace_back(i);
}
return ret;
}
private:
void UnionConnect(int iFrom, int iTo)
{
m_vNodeToRegion[iFrom] = iTo;
}
vector<int> m_vNodeToRegion;//各点所在联通区域的索引,本联通区域任意一点的索引，为了增加可理解性，用最小索引
int m_iConnetRegionCount;
};
class Solution {
public:
bool canTraverseAllPairs(vector<int>& nums) {
m_c = nums.size();
const int iMax = *std::max_element(nums.begin(), nums.end());
vector<vector<int>> vIndexs(iMax + 1);
CUnionFind uf(m_c);
for (int i = 0; i <m_c; i++) {
auto& v = vIndexs[nums[i]];
if (v.size()&&(1 != nums[i])) { uf.Union(v.back(), i); }
v.emplace_back(i);
}
for (int x = 2; x <= iMax; x++) {
int iPre = -1;
for (int y = x; y <= iMax; y += x) {
if (vIndexs[y].empty()) { continue; }
if (-1 != iPre) { uf.Union(iPre, vIndexs[y].back()); }
iPre = vIndexs[y].back();
}
}
return uf.GetConnetRegionCount() == 1;
}
int m_c;
};
测试用例
template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
if (v1.size() != v2.size())
{
assert(false);
return;
}
for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
{
assert(v1[i] == v2[i]);
}
}
template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
assert(t1 == t2);
}
int main()
{
vector<int> nums;
{
Solution slu;
nums = { 1,1 };
auto res = slu.canTraverseAllPairs(nums);
Assert(false, res);
}
{
Solution slu;
nums = { 2, 3, 6 };
auto res = slu.canTraverseAllPairs(nums);
Assert(true, res);
}
{
Solution slu;
nums = { 3,9,5 };
auto res = slu.canTraverseAllPairs(nums);
Assert(false, res);
}
{
Solution slu;
nums = { 4,3,12,8 };
auto res = slu.canTraverseAllPairs(nums);
Assert(true, res);
}
}
扩展阅读
视频课程
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适），可以先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176
相关下载
想高屋建瓴的学习算法，请下载《喜缺全书算法册》doc版
https://download.csdn.net/download/he_zhidan/88348653
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。