文章目录
本章要点
- 可归约性定义；
- 映射可归约：若 A ≤ m B A\le_m B A≤mB且 A A A不可判定，则 B B B也是不可判定证明； A ≤ m B A \le_m B A≤mB与 A ‾ ≤ m B ‾ \overline A \le_m \overline B A≤mB等价性证明；
- H A L T T M , E T M , R E G U L A R T M , E Q T M HALT_{TM}, E_{TM}, REGULAR_{TM}, EQ_{TM} HALTTM,ETM,REGULARTM,EQTM的归约；
- E Q T M EQ_{TM} EQTM和其补都不是图灵可识别的证明。
可归约性
在以图灵机为通用计算机的前提下，可判定章节讨论了一些在图灵机上可解的问题；并给出了一个图灵机不可解的实例： A T M A_{TM} ATM。
在可归约章节中，将进一步给出其他图灵机不可解的实例，并通过论证 A T M A_{TM} ATM可以归约到这些实例，证明其不可解性。
映射可归约
映射可归约是一种简单的从一个问题归约到另一个问题的方法。核心理念是，通过一个可计算函数，将问题 A A A转化为问题 B B B的实例，然后解决问题 B B B。这种思想在时间复杂度、空间复杂度的完全性问题，以及本章中将要讨论的几个不可解问题中，有充分体现。
首先给出可计算函数的定义：
定义：称 f : Σ ∗ → Σ ∗ f: \Sigma^* \to \Sigma^* f:Σ∗→Σ∗是一个可计算函数，如果 f f f对所有的输入 w w w都停机，并且停机后只有 f ( w ) f(w) f(w)出现在带子上。
进而定义映射可归约性：
定义：如果存在可计算函数 f : Σ ∗ → Σ ∗ f:\Sigma^* \to \Sigma^* f:Σ∗→Σ∗，对每个 w ∈ A w \in A w∈A，都有
w ∈ A ⇔ f ( w ) ∈ B w \in A \Leftrightarrow f(w) \in B w∈A⇔f(w)∈B
则称语言 A A A映射可归约到语言 B B B，记 A ≤ m B A \le_m B A≤mB，称 f f f为 A A A到 B B B的归约。
定理：如果 A ≤ m B A \le_m B A≤mB且 B B B是可判定的，则 A A A也是可判定的。
证明：已知 B B B可判定，使用 B B B的判定器 M M M，根据映射可归约的定义，构造 A A A的判定器 N N N：
N = “对输入 w : 1. 计算 f ( w ) ; 2. 在 f ( w ) 上运行 M ，输出 M 的输出。” \begin{array}{l} N = \text{“对输入}w:\\ 1.计算f(w);\\ 2.在f(w)上运行M，输出M的输出。\text{”} \end{array} N=“对输入w:1.计算f(w);2.在f(w)上运行M，输出M的输出。”
推论：若 A ≤ m B A\le_m B A≤mB且 A A A不可判定，则 B B B也是不可判定的。
证明：若 A ≤ m B A\le_m B A≤mB且 A A A不可判定，假设 B B B可判定，则根据定理可知， A A A应该是可判定的，矛盾，故 B B B应该是不可判定的。
图灵可判定归约证明
H A L T T M HALT_{TM} HALTTM不可判定
给出 H A L T T M HALT_{TM} HALTTM的定义，并回顾下 A T M A_{TM} ATM的定义：
H A L T T M = { < M , w > ∣ M 为图灵机，对输入 w 停机 } A T M = { < M , w > ∣ M 为图灵机， M 接受 w } HALT_{TM} = \{<M, w>| M为图灵机，对输入w停机\}\\ A_{TM} = \{<M, w> | M为图灵机，M接受w\} HALTTM={<M,w>∣M为图灵机，对输入w停机}ATM={<M,w>∣M为图灵机，M接受w}
证明思路： A T M A_{TM} ATM对 M M M拒绝和循环的输出都是拒绝，因此首先使用 H A L T T M HALT_{TM} HALTTM的判定器判定是否停机，不停机就拒绝；然后再在 w w w上模拟 M M M。
证明：假设 H A L T T M HALT_{TM} HALTTM是可判定的，使用 H A L T T M HALT_{TM} HALTTM归约 A T M A_{TM} ATM，设判定 H A L T T M HALT_{TM} HALTTM的图灵机为 R R R，构造判定 A T M A_{TM} ATM的图灵机 S S S：
S = “对输入 < M , w > : 1. 在输入 < M , w > 上运行 R ; 2. 若 R 拒绝，则拒绝 ; 3. 若 R 接受，在 w 上运行 M ，直到停机 ; 4. 若 M 接受，则接受；若 M 拒绝，则拒绝。” \begin{array}{l} S = \text{“对输入}<M, w>:\\ 1.在输入<M,w>上运行R;\\ 2.若R拒绝，则拒绝;\\ 3.若R接受，在w上运行M，直到停机;\\ 4.若M接受，则接受；若M拒绝，则拒绝。\text{”} \end{array} S=“对输入<M,w>:1.在输入<M,w>上运行R;2.若R拒绝，则拒绝;3.若R接受，在w上运行M，直到停机;4.若M接受，则接受；若M拒绝，则拒绝。”
从上面的构造可以看出，若 R R R可判定 H A L T T M HALT_{TM} HALTTM，则 S S S可判定 A T M A_{TM} ATM，因为 A T M A_{TM} ATM是不可判定的，故 H A L T T M HALT_{TM} HALTTM也应该是不可判定的。
E T M E_{TM} ETM不可判定
给出 E T M E_{TM} ETM的定义：
E T M = { < M > ∣ M 为图灵机， L ( M ) = ∅ } E_{TM} = \{<M> | M为图灵机，L(M) = \varnothing\} ETM={<M>∣M为图灵机，L(M)=∅}
证明思路：仍然需要构造 A T M A_{TM} ATM的判定器，但 E T M E_{TM} ETM与 A T M A_{TM} ATM的联系性是比较难想的。这个联系等价于找到 ∅ \varnothing ∅与 w w w的关系，即如果 M M M接受/不接受 w w w，应该推导出 ∅ \varnothing ∅。
可以根据 M M M和 w w w的描述，尝试构造这样一台新的图灵机 M 1 M_1 M1：
M 1 = “对输入 x : 1. 若 x ≠ w , 则拒绝 ; 2. 若 x = w , 则在 w 上模拟 M ，若 M 接受，则接受。” \begin{array}{l} M_1 = \text{“对输入}x:\\ 1.若x\ne w, 则拒绝;\\ 2.若x = w, 则在w上模拟M，若M接受，则接受。\text{”} \end{array} M1=“对输入x:1.若x=w,则拒绝;2.若x=w,则在w上模拟M，若M接受，则接受。”
图灵机 M 1 M_1 M1唯一能够识别的串就是 w w w，当且仅当 x = w x = w x=w时， L ( M 1 ) ≠ ∅ L(M_1) \ne \varnothing L(M1)=∅。如果 E T M E_{TM} ETM是可判定的，就可以通过判定 M 1 M_1 M1的语言是否为 ∅ \varnothing ∅，得知 M M M是否接受 w w w。设 E T M E_{TM} ETM的判定器为 R R R，如果 R R R接受，则意味着 L ( M 1 ) = ∅ L(M_1) = \varnothing L(M1)=∅，即 M M M不接受 w w w；反之，则意味着 M M M接受 w w w。
证明：假设 E T M E_{TM} ETM是可判定的，设其判定器为 R R R，构造判定 A T M A_{TM} ATM的判定器 S S S：
S = 对输入 < M , w > : 1. 使用 M 和 w 的描述，构造只接受 w 的图灵机 M 1 ; 2. 使用 R 判定 M 1 ; 3. 若 R 接受，则拒绝；若 R 拒绝，则接受。” \begin{array}{l} S = \text{对输入}<M, w>:\\ 1.使用M和w的描述，构造只接受w的图灵机M_1;\\ 2.使用R判定M_1;\\ 3.若R接受，则拒绝；若R拒绝，则接受。\text{”} \end{array} S=对输入<M,w>:1.使用M和w的描述，构造只接受w的图灵机M1;2.使用R判定M1;3.若R接受，则拒绝；若R拒绝，则接受。”
从上面的构造可以看出，若 R R R可以判定 E T M E_{TM} ETM，则 S S S可以判定 A T M A_{TM} ATM，由于 A T M A_{TM} ATM是不可判定的，故 E T M E_{TM} ETM也应该是不可判定的。
R E G U L A R T M REGULAR_{TM} REGULARTM不可判定
给出 R E G U L A R T M REGULAR_{TM} REGULARTM的定义：
R E G U L A R T M = { < M > ∣ M 为图灵机，且 L ( M ) 为正则语言 } REGULAR_{TM} = \{<M>| M为图灵机，且L(M)为正则语言\} REGULARTM={<M>∣M为图灵机，且L(M)为正则语言}
证明思路：与 E T M E_{TM} ETM的思路类似，我们需要找到判定正则语言与判定接受 w w w之间的联系，即，如果 M M M接受 w w w，则 L ( M ) L(M) L(M)为正则语言；如果 M M M不接受 w w w，则 L ( M ) L(M) L(M)为非正则语言。构造图灵机 M 2 M_2 M2来描述这种关系（设字母表为 { 0 , 1 } \{0,1\} {0,1}）：
M 2 = “对输入 x : 1. 若 x 具有形式 0 n 1 n ，则接受，此时 M 2 的语言为非正则 ; 2. 若 x 具有形式 Σ ∗ ，则在 w 上运行 M 。若 M 接受 w ，则接受。此时 M 2 的语言是正则语言。” \begin{array}{l} M_2 = \text{“对输入}x:\\ 1.若x具有形式0^n1^n，则接受，此时M_2的语言为非正则;\\ 2.若x具有形式\Sigma^*，则在w上运行M。若M接受w，则接受。此时M_2的语言是正则语言。\text{”} \end{array} M2=“对输入x:1.若x具有形式0n1n，则接受，此时M2的语言为非正则;2.若x具有形式Σ∗，则在w上运行M。若M接受w，则接受。此时M2的语言是正则语言。”
证明：假设 R E G U L A R T M REGULAR_{TM} REGULARTM可判定，且判定器为 R R R，构造判定 A T M A_{TM} ATM的判定器 S S S：
S = 对输入 < M , w > : 1. 使用 M 和 w 构造上述的图灵机 M 2 ; 2. 在输入 < M 2 > 上运行 R ; 3. 若 R 接受，则接受；若 R 拒绝，则拒绝。 \begin{array}{l} S = \text{对输入}<M, w>:\\ 1.使用M和w构造上述的图灵机M_2;\\ 2.在输入<M_2>上运行R;\\ 3.若R接受，则接受；若R拒绝，则拒绝。\ \end{array} S=对输入<M,w>:1.使用M和w构造上述的图灵机M2;2.在输入<M2>上运行R;3.若R接受，则接受；若R拒绝，则拒绝。
从上述构造中可以看出，如果 R R R可以判定 R E G U L A R T M REGULAR_{TM} REGULARTM，则 S S S可以判定 A T M A_{TM} ATM，由于 A T M A_{TM} ATM不可判定，故 R E G U L A R T M REGULAR_{TM} REGULARTM应该是不可判定的。
E Q T M EQ_{TM} EQTM不可判定
给出 E Q T M EQ_{TM} EQTM的定义：
E Q T M = { < M 1 , M 2 > ∣ M 1 , M 2 都是图灵机，且 L ( M 1 ) = L ( M 2 ) } EQ_{TM} = \{<M_1, M_2>|M_1, M_2都是图灵机，且L(M_1) = L(M_2)\} EQTM={<M1,M2>∣M1,M2都是图灵机，且L(M1)=L(M2)}
证明思路： E Q T M EQ_{TM} EQTM利用 E T M E_{TM} ETM来进行构造，同样是要寻找两者之间的联系：令 L ( M 1 ) = ∅ L(M_1) = \varnothing L(M1)=∅，若 E Q ( M 1 , M 2 ) EQ(M_1, M_2) EQ(M1,M2)，则 M 2 M_2 M2的语言也应该是空的。
证明：假设 E Q T M EQ_{TM} EQTM可判定，设判定器为 R R R，构造判定 E T M E_{TM} ETM的判定器 S S S：
S = 对输入 < M > : 1. 在输入 < M , M 1 > 上运行 R ， M 1 为拒绝所有输入的图灵机，即 L ( M 1 ) = ∅ 2. 如果 R 接受，则接受；如果 R 拒绝，则拒绝。” \begin{array}{l} S = \text{对输入}<M>:\\ 1.在输入<M, M_1>上运行R，M_1为拒绝所有输入的图灵机，即L(M_1) = \varnothing\\ 2.如果R接受，则接受；如果R拒绝，则拒绝。\text{”} \end{array} S=对输入<M>:1.在输入<M,M1>上运行R，M1为拒绝所有输入的图灵机，即L(M1)=∅2.如果R接受，则接受；如果R拒绝，则拒绝。”
从上述构造中可以看出，如果 R R R可以判定 E Q T M EQ_{TM} EQTM，则 S S S可以判定 E T M E_{TM} ETM，因为 E T M E_{TM} ETM不可判定，故 E Q T M EQ_{TM} EQTM也是不可判定的。
图灵可识别的归约性
映射可归约性对求补运算是敏感的，在可判定章节，我们提到了补图灵可识别的概念，这里对其归约性进行说明。
首先给出图灵可识别的归约定理，形式上非常类似映射可归约一节中可判定性的归约定理：
定理：如果 A ≤ m B A \le_m B A≤mB且 B B B是图灵可识别的的，则 A A A也是图灵可识别的。
只需要将上文中证明的判定器改为识别器，就可以证明该定理。推论同理：
推论：若 A ≤ m B A\le_m B A≤mB且 A A A不可识别，则 B B B也是不可识别的。
推论： A ≤ m B A \le_m B A≤mB与 A ‾ ≤ m B ‾ \overline A \le_m \overline B A≤mB具有相同含义。
证明：已知 A ≤ m B A \le_m B A≤mB，则有对应关系：
∀ w ∈ A ⇔ ∀ f ( w ) ∈ B \forall\ w \in A \Leftrightarrow \forall\ f(w) \in B ∀ w∈A⇔∀ f(w)∈B
若 ∃ w ∈ A ‾ \exist\ w \in \overline A ∃ w∈A，使得 f ( w ) ∉ B f(w) \notin B f(w)∈/B，则意味着该 f ( w ) ∈ B ⇔ w ∈ A f(w) \in B \Leftrightarrow w \in A f(w)∈B⇔w∈A，导致矛盾。
故 ∀ w ∈ A ‾ \forall\ w \in \overline A ∀ w∈A，都应有 f ( w ) ∈ B ‾ f(w) \in \overline B f(w)∈B。
上述定理在证明可识别性归约问题有典型的应用：因为 A T M ‾ \overline {A_{TM}} ATM不是图灵可识别的，因此如果想要证明 B B B不是图灵可识别的，可以证明 A T M ≤ m B ‾ A_{TM} \le_m \overline B ATM≤mB，就相当于证明 A T M ‾ ≤ m B \overline {A_{TM}} \le_m B ATM≤mB。
定理： E Q T M EQ_{TM} EQTM既不是图灵可识别的，也不是补图灵可识别的。
证明：
-
首先证明 E Q T M EQ_{TM} EQTM不可识别，给出从 A T M A_{TM} ATM到 E Q T M ‾ \overline {EQ_{TM}} EQTM的归约：
F = “对输入 < M , w > , M 为图灵机， w 为串 : 1. 构造图灵机 M 1 , M 2 ： M 1 = “对任何输入 : a . 拒绝。” M 2 = “对任何输入 : a . 在 w 上运行 M ，若 M 接受，则接受。” 2. 输出 < M 1 , M 2 > 。” \begin{array}{l} F = \text{“对输入}<M, w>, M为图灵机，w为串:\\ 1.构造图灵机M_1, M_2：\\ M_1 = \text{“对任何输入}:\\ \ \ \ \ a.拒绝。\text{”}\\ M_2 = \text{“对任何输入}:\\ \ \ \ \ a.在w上运行M，若M接受，则接受。\text{”}\\ 2.输出<M_1, M_2>。\text{”} \end{array} F=“对输入<M,w>,M为图灵机，w为串:1.构造图灵机M1,M2：M1=“对任何输入: a.拒绝。”M2=“对任何输入: a.在w上运行M，若M接受，则接受。”2.输出<M1,M2>。”
由于 M 1 M_1 M1什么也不接受，若 M M M接受 w w w，则 M 2 M_2 M2接受，两个机器不等价；反之，如果 M M M不接受 w w w，则两个机器等价。因为 A T M ‾ \overline {A_{TM}} ATM不是图灵可识别的，且 A T M ≤ m E Q T M ‾ ⇔ A T M ‾ ≤ m E Q T M A_{TM} \le_m \overline {EQ_{TM}} \Leftrightarrow\overline {A_{TM}} \le_m EQ_{TM} ATM≤mEQTM⇔ATM≤mEQTM，故 E Q T M EQ_{TM} EQTM不是可识别的。 -
同理，只需将 M 1 M_1 M1的描述改为对任何输入都接受，可以得到 A T M A_{TM} ATM到 E Q T M EQ_{TM} EQTM的归约，从而证明补图灵不可识别。
参考
- 《计算理论导引》第二版，机械工业出版社