梯度提升决策树（Gradient Boosting Decision Tree, GBDT）是一种基于boosting集成学习思想的加法模型，训练时采用前向分布算法进行贪婪学习，每次迭代都学习一棵CART树来拟合之前 t − 1 t-1 t−1棵树的训练样本真实值的残差。
CART(Classification and Regression tree)
最小二乘回归算法
输入：训练数据集 D D D。
输出：回归树 f ( x ) f(x) f(x)。
在训练数据集所在的输入空间中，递归地将每个区域划分为两个子区域并决定每个子区域的输出值，构建二叉决策树：
- 选择最优切分变量 j j j与切分点 s s s，求解：
min i , s [ min C 1 ∑ x i ∈ R 1 ( j , s ) ( y i − c 1 ) 2 + min C 2 ∑ x i ∈ R 2 ( j , s ) ( y i − c 2 ) 2 ] \min_{i,s} [\min_{C_{1}}\sum_{x_i\in R_1(j,s)}(y_i-c_1)^2+\min_{C_2}\sum_{x_i \in R_2(j,s)}(y_i-c_2)^2 ] i,smin[C1minxi∈R1(j,s)∑(yi−c1)2+C2minxi∈R2(j,s)∑(yi−c2)2]
遍历变量 j j j，对固定的切分变量 j j j扫描切分点 s s s，选择使上式达到最小值的对 ( j , s ) (j,s) (j,s)。 - 用选择的对 ( j , s ) (j,s) (j,s)划分区域并决定相应的输出值：
R 1 ( j , s ) = { x ∣ x ( j ) ≤ s } R_1(j,s)=\{x|x^{(j)}\le s\} R1(j,s)={x∣x(j)≤s}
R 1 ( j , s ) = { x ∣ x ( j ) > s } R_1(j,s)=\{x|x^{(j)}> s\} R1(j,s)={x∣x(j)>s}
C ^ m = 1 N m ∑ x i ∈ R 1 ( j , s ) y i , x ∈ R m , m = 1 , 2 \hat{C}_m=\frac{1}{N_m}\sum_{x_i\in R_1(j,s)}y_i, x\in R_m,m=1,2 C^m=Nm1xi∈R1(j,s)∑yi,x∈Rm,m=1,2 - 继续对两个子区域调用步骤1和2，直至停止条件
- 将输入空间划分为 M M M个区域 R 1 , R 2 , . . . , R M R_1,R_2,...,R_M R1,R2,...,RM，生成决策树：
f ( x ) = ∑ m = 1 M C ^ m I ( x ∈ R m ) f(x)=\sum_{m=1}^{M}\hat{C}_mI(x\in R_m) f(x)=m=1∑MC^mI(x∈Rm)
GBDT(Gradient Boosting Decision Tree)
假设GBDT里有k个CART。其中第k个CART记为 T k ( X ) T_k(X) Tk(X)，前k个CART的预测值记为
f k ( x ) = ∑ i = 1 k T i ( x ) f_k(x)=\sum_{i=1}^{k}T_i(x) fk(x)=i=1∑kTi(x)
GBDT是一种加法模型，它把所有基础模型的预测值累加起来作为最终的预测值，可把前K个CART的预测值表示为一个递归的形式：
f k ( x ) = f k − 1 ( x ) + T k ( x ) f_k(x)=f_{k-1}(x)+T_k(x) fk(x)=fk−1(x)+Tk(x)
训练第k个CART时，最小化目标函数：
J = ∑ n = 1 N L ( y n , f k ( x n ) ) = ∑ n = 1 N L ( y n , f k − 1 ( x ) + T k ( x ) ) J=\sum_{n=1}^{N}L(y_n,f_k(x_n))=\sum_{n=1}^{N}L(y_n,f_{k-1}(x)+T_k(x)) J=n=1∑NL(yn,fk(xn))=n=1∑NL(yn,fk−1(x)+Tk(x))
利用梯度下降法：
f k ( x n ) = f k − 1 ( x n ) − α ∂ J ∂ f k − 1 ( x n ) f_k(x_n)=f_{k-1}(x_n)-\alpha \frac{\partial J}{\partial f_{k-1}(x_n)} fk(xn)=fk−1(xn)−α∂fk−1(xn)∂J
T k ( x n ) = − α ∂ J ∂ f k − 1 ( x n ) T_k(x_n)=-\alpha \frac{\partial J}{\partial f_{k-1}(x_n)} Tk(xn)=−α∂fk−1(xn)∂J
通常回归任务中用残差平方和作为目标函数
J = ∑ n = 1 N L ( y n , f k ( x n ) ) = ∑ n − 1 N 1 2 ( y n − f k ( x n ) ) 2 J=\sum_{n=1}^{N}L(y_n,f_k(x_n))=\sum_{n-1}^{N}\frac{1}{2}{(y_n-f_k(x_n))}^2 J=n=1∑NL(yn,fk(xn))=n−1∑N21(yn−fk(xn))2
因此有
T k ( x n ) = − α ∂ J ∂ f k − 1 ( x n ) = y n − f k − 1 ( x n ) T_k(x_n)=-\alpha \frac{\partial J}{\partial f_{k-1}(x_n)}=y_n-f_{k-1}(x_n) Tk(xn)=−α∂fk−1(xn)∂J=yn−fk−1(xn)
也就是说，GBDT的每一颗CART树的任务，是拟合之前所有CART留下的残差。