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- 主要内容
- 例题：
- 1）微分方程：
- 2）一个 3x3 矩阵 A 具有特征值 λ 1 = 0 ， λ 2 = c ， λ 3 = 2 λ_1=0，λ_2=c，λ_3=2 λ1=0，λ2=c，λ3=2。对应的特征向量为 x 1 = [ 1 1 1 ] , x 2 = [ 1 − 1 0 ] , x 3 = [ 1 1 − 2 ] x_1=\begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix},x_2=\begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix},x_3=\begin{bmatrix} 1\\1\\-2 \end{bmatrix} x1= 111 ,x2= 1−10 ,x3= 11−2
- 3）对于矩阵 A 可做奇异值分解 A = U Σ V T A=UΣV^T A=UΣVT，已知 Σ = [ 3 0 0 2 ] Σ = \begin{bmatrix} 3&0\\0&2 \end{bmatrix} Σ=[3002] ，并且矩阵 U 和 V均为 2 列。
- 4）矩阵 A 对称并且正交。
主要内容
特征值和特征向量 A x = λ x Ax=λx Ax=λx
微分方程 d u / d t = A u du/dt=Au du/dt=Au 和矩阵指数形式 e A t e^{At} eAt
对称矩阵 A = A T A=A^T A=AT 的特征值永远为实数，总有足够的特征向量实现矩阵的对角化 A = Q Λ Q T A=QΛQ^T A=QΛQT。
正定矩阵
相似矩阵 B = M − 1 A M B=M^{-1}AM B=M−1AM，两矩阵具有相同的特征值，但是特征向量不同，矩阵的乘方形式很接近 B k = M − 1 A k M B^k=M^{-1}A^kM Bk=M−1AkM。
奇异值分解 S V D ， A = U Σ V T SVD，A=UΣV^T SVD，A=UΣVT。
例题：
1）微分方程：
d u d x = A u = [ 0 − 1 0 1 0 − 1 0 1 0 ] u \frac{du}{dx} =Au =\begin{bmatrix} 0&-1&0\\1&0&-1\\0&1&0 \end{bmatrix}u dxdu=Au= 010−1010−10 u
a）求通解为 u ( t ) = c 1 e λ 1 t x 1 + c 2 e λ 2 t x 2 + c 3 e λ 3 t x 3 u(t) =c_1e^{λ_1t}x_1+c_2e^{λ_2t}x_2+c_3e^{λ_3t}x_3 u(t)=c1eλ1tx1+c2eλ2tx2+c3eλ3tx3
答：首先求处矩阵的特征值，矩阵为奇异矩阵，因此具有一个特征值 0。矩阵为反对称矩阵，因此特征值为纯虚数。
解得 λ 1 = 0 ， λ 2 = 2 i ， λ 3 = − 2 i λ_1=0，λ_2= 2i，λ_3=- 2i λ1=0，λ2=2i，λ3=−2i。
则通解形式为 u ( t ) = c 1 x 1 + c 2 e 2 i t x 2 + c 3 e − 2 i t x 3 u(t) =c_1x_1+c_2e^{\sqrt{2i}t}x_2+c_3e^{-\sqrt{2i}t}x_3 u(t)=c1x1+c2e2i tx2+c3e−2i tx3 ，解既不发散也不收敛，纯虚数特征值使得解的分量始终在单位圆上循环。
b）解为周期性函数，何时返回初值？（周期是多少）
解： 2 T i \sqrt{2}Ti 2 Ti =2 π \pi πi，所以有 T = 2 π T =\sqrt{2}\pi T=2 π。
c）求出两个特征向量，证明其正交？
满足 A T A = A A T A^TA=AA^T ATA=AAT 的矩阵具有正交的特征向量。对称和反对称矩阵都具有正交的特征向量。正交矩阵也符合此要求。
答：将特征值代入可以求得 x 1 = [ 1 0 1 ] ， x 2 = [ − 1 2 i 1 ] ， x 3 = [ 1 − s q r t 2 i − 1 ] x_1=\begin{bmatrix} 1\\0\\1 \end{bmatrix} ，x_2=\begin{bmatrix} -1\\\sqrt{2}i\\1 \end{bmatrix}，x3=\begin{bmatrix} 1\\-sqrt{2}i\\-1 \end{bmatrix} x1= 101 ，x2= −12 i1 ，x3= 1−sqrt2i−1 。可以用内积验证其正交性，要注意对复向量取内积要做共轭。
d）微分方程的解写成矩阵指数形式为 u ( t ) = e A t u ( 0 ) u(t)=e^{At}u(0) u(t)=eAtu(0)，如何计算 e A t e^{At} eAt？
答：若有 A = S Λ S − 1 A=SΛS^{-1} A=SΛS−1。则有 e A t = S e Λ t S − 1 e^{At} =Se^{Λt}S^{-1} eAt=SeΛtS−1 ，其中 [ e λ 1 t 0 . . . 0 0 e λ 2 t . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . e λ n t ] \begin{bmatrix} e^{λ_1t}&0&...&0\\0&e^{λ_2t}&...&0\\...&...&...&...\\0&0&...&e^{λ_nt} \end{bmatrix} eλ1t0...00eλ2t...0............00...eλnt 。
2）一个 3x3 矩阵 A 具有特征值 λ 1 = 0 ， λ 2 = c ， λ 3 = 2 λ_1=0，λ_2=c，λ_3=2 λ1=0，λ2=c，λ3=2。对应的特征向量为 x 1 = [ 1 1 1 ] , x 2 = [ 1 − 1 0 ] , x 3 = [ 1 1 − 2 ] x_1=\begin{bmatrix} 1\\1\\1 \end{bmatrix},x_2=\begin{bmatrix} 1\\-1\\0 \end{bmatrix},x_3=\begin{bmatrix} 1\\1\\-2 \end{bmatrix} x1= 111 ,x2= 1−10 ,x3= 11−2
a）求 c 使得矩阵可对角化。
答：矩阵具有足够多的线性无关的特征向量时，可以完成对角化。此处的特征向量不仅线性无关而且正交，因此任意 c 都可以满足矩阵可对角化。
b）求 c 使得矩阵对称？
答：如果矩阵对称 A = Q Λ Q T A=QΛQ^T A=QΛQT，则其特征值为实数，因此 c 为实数时，此矩阵为对称矩阵。
c）求 c 使得矩阵正定？
答：有一个特征值为 0，矩阵不可能正定。c 为实数且 c≥0 时，矩阵半正定。
d）此矩阵可能是 Markov 矩阵么？
答：Markov 矩阵具有一个特征值 1，其它特征值小于 1。此矩阵具有特征值 2，因此不可能是 Markov 矩阵。
e）矩阵 P=(1/2)A 可能是投影矩阵么？
答：投影矩阵的特征值为 1 或者 0，所以当 c=0 或者 2 时，矩阵 P=(1/2)A 是投影矩阵。
3）对于矩阵 A 可做奇异值分解 A = U Σ V T A=UΣV^T A=UΣVT，已知 Σ = [ 3 0 0 2 ] Σ = \begin{bmatrix} 3&0\\0&2 \end{bmatrix} Σ=[3002] ，并且矩阵 U 和 V均为 2 列。
a）对于矩阵 A 我们知道些什么？
答：矩阵 A 为二阶可逆矩阵。
b）如果 Σ = [ 3 0 0 − 5 ] Σ= \begin{bmatrix} 3&0\\0&-5 \end{bmatrix} Σ=[300−5]呢？
答：不可能，因为奇异值分解要求奇异值大于 0。
c）如果 Σ = [ 3 0 0 0 ] Σ= \begin{bmatrix} 3&0\\0&0 \end{bmatrix} Σ=[3000]呢？
答：矩阵为奇异阵，秩为 1，零空间的维数为 1。四个子空间由 U 和 V 的列向量张成。例如 v 2 v_2 v2就在矩阵的零空间中。
4）矩阵 A 对称并且正交。
a）我们对它的特征值知道什么？
答：对称矩阵的特征值为实数，正交矩阵的特征值的绝对值为 1。因此矩阵的
特征值为+1 或者-1。
b）矩阵 A 是否为正定矩阵？
答：特征值可以是-1，非正定。
c）矩阵 A 没有重特征值？
答：只能是+1 或者-1，因此 3 阶以上肯定有重特征值。
d）矩阵 A 可对角化么？
答：所有的对称矩阵和所有的正交矩阵都可对角化。
e）矩阵 A 可逆么？
答：正交矩阵都可逆。
f）证明 P=(1/2)(A+I)是投影矩阵。
答： P 2 = ( 1 2 ( A + I ) ) 2 = 1 4 ( A 2 + 2 A + I ) P^2=(\frac{1}{2}(A+I))^2 =\frac{1}{4}(A^2+2A+I) P2=(21(A+I))2=41(A2+2A+I)。。其中 A 2 = A T A = I A^2=A^TA=I A2=ATA=I，所以 P 2 = 1 2 ( A + I ) = P P^2=\frac{1}{2}(A+I)=P P2=21(A+I)=P 。因此它可以是投影矩阵。此外(1/2)(A+I)的特征值为 1 或者 0，并且是对称矩阵，这亦可证明它是投影矩阵。