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本讲中将学习如何对角化含有 n 个线性无关特征向量的矩阵，以及对角化是怎样简化计算的。
对角化矩阵 Diagonalizing a matrix S−1AS = Λ
如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量，将它们作为列向量可以组成一个可逆方阵 S，并且有：
这里的矩阵 Λ 为对角阵，它的非零元素就是矩阵 A 的特征值。因为矩阵 S 中的列向量线性无关，因此逆矩阵 S-1存在。在等式两侧左乘逆矩阵，得到 S-1AS=Λ。同样地，A=SΛS-1。
对于消元法而言，矩阵有 LU 分解，对于施密特正交法，矩阵有 QR 分解，而上面的推导是一种新的矩阵分解。
矩阵的幂 Powers of A
特征值给矩阵的幂计算提供了方法。
如果 Ax=λx，则有 A 2 A^2 A2x=λAx= λ 2 λ^2 λ2x。说明矩阵 A 2 A^2 A2 有着和 A 一样的特征向量，而特征值为 λ 2 λ^2 λ2。我们将写成对角化形式则有： A 2 A^2 A2=SΛ S − 1 S^{-1} S−1SΛ S − 1 S^{-1} S−1=S Λ 2 Λ^2 Λ2 S − 1 S^{-1} S−1。做相同的处理还可以得到： A k A^k Ak =S Λ k Λ^k Λk S − 1 S^{-1} S−1。这说明 A k A^k Ak 有着和 A 一样的特征向量，而特征值为 λ k λ^k λk。
如果矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量，如果所有的特征值均满足 ∣ λ i ∣ \begin{vmatrix} λ_i \end{vmatrix} λi <1 。则 k→∞时， A k A^k Ak→0。
重特征值 Repeated eigenvalues
如果矩阵 A 没有重特征值，则其一定具有 n 个线性无关的特征向量。
如果矩阵 A 有重特征值，它有可能具有 n 个线性无关的特征向量，也可能没有。比如单位阵的特征值为重特征值 1，但是其具有 n 个线性无关的特征向量。
差分方程 Difference equations u k + 1 u_{k+1} uk+1=A u k u_k uk
从给定的一个向量 u0 出发，我们可以通过对前一项乘以矩阵 A 得到下一项的方式，得到一个向量序列： u k + 1 u_{k+1} uk+1=A u k u_k uk.
这里的 u k + 1 u_{k+1} uk+1=A u k u_k uk可以是一个一阶差分方程，而 u k u_k uk= A k u 0 A^ku_0 Aku0就是方程的解。但这种简洁形式并没有给出足够的信息，我们需要通过特征向量和矩阵的幂运算给出真实解的结构。
斐波那契数列 Fibonacci sequence
斐波那契数列为 0,1,1,2,3,5,8,13……其通项公式为 Fk+2=Fk+1+Fk。求 F100 ？ 如果我们以矩阵的方式来理解数列，则矩阵的特征值可以告诉我们数列中数值的增长速度。
为了凑成矩阵形式，需要用一个比较巧妙的技巧。令 u k u_k uk = [ a b ] \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} [ab] ，则有：
F k + 2 = F k + 1 + F k F k + 1 = F k + 1 \begin{align*} &F_{k+2} = F_{k+1} + F_{k}\\ &F_{k+1} = F_{k+1} \end{align*} Fk+2=Fk+1+FkFk+1=Fk+1
写成矩阵形式为
u k + 1 = [ 1 1 1 0 ] u k u_{k+1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} u_k uk+1=[1110]uk
观察矩阵 A= [ 1 1 1 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1& 0 \end{bmatrix} [1110]的特征值和特征向量，因为其为对称矩阵，特征值为实数，且特征向量正交。