2024年第二届“华数杯”国际大学生数学建模竞赛（A题 MCM）| 废水扩散分析 |数学建模完整代码+建模过程全解全析

当大家面临着复杂的数学建模问题时，你是否曾经感到茫然无措？作为2022年美国大学生数学建模比赛的O奖得主，我为大家提供了一套优秀的解题思路，让你轻松应对各种难题。
让我们来看看华数杯的A题！
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完整内容可以在文章末尾领取！

建立一个模型来描述放射性废水在海水中的扩散速率和方向，考虑到涉及的物理过程和环境因素的复杂性，我们通常会使用一个简化的扩散模型作为起点。在这种情况下，我们可以使用一个被广泛应用于环境工程和物理海洋学的模型：阿德韦克斯-扩散方程。这个方程考虑了物质由于流体运动（阿德韦克斯项）和由于浓度梯度引起的分子扩散（扩散项）的传输。

阿德韦克斯-扩散方程

阿德韦克斯-扩散方程的一维形式如下：
∂ C ∂ t + u ∂ C ∂ x = D ∂ 2 C ∂ x 2 \frac{\partial C}{\partial t} + u \frac{\partial C}{\partial x} = D \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} ∂t∂C+u∂x∂C=D∂x2∂2C
其中：

C ( x , t ) C(x, t) C(x,t) 是时间 t t t 和位置 x x x 处的污染物浓度。
u u u 是流体（在这种情况下是海水）的速度。
D D D 是扩散系数。

模型参数

初始条件：在 t = 0 t = 0 t=0 时，1095吨放射性废水被排放到一个特定的位置。这可以被建模为一个浓度峰值。
流体速度 u u u：这需要来自海洋流动数据。
扩散系数 D D D：这依赖于海水的物理性质和放射性物质的特性。

实施和预测

使用这个方程，我们可以通过数值方法（如有限差分法）来模拟污染物随时间的扩散。我们将设置初始条件和边界条件，然后模拟从2023年8月27日到9月27日的扩散过程。最终的模拟结果将给出在不同时间和位置的浓度分布，从而可以预测污染范围和程

在上述模型中，我们假设了一定的流体速度和扩散系数，并将放射性废水的初始释放量设为1095吨，集中在一个特定点上。根据模型的结果，我们可以看到从排放点开始，放射性废水的浓度随着距离的增加而逐渐减少。

考虑大气环流和日本的地理位置对放射性废水扩散的影响，我们需要将大气-海洋相互作用和区域海洋流动模式纳入考虑。

大气环流对海洋表面流动的影响：风力可以显著影响海洋表层的流动方向和速率，特别是在近海区域。
日本周边的海洋流动特征：北太平洋流动模式，如黑潮（Kuroshio Current）等强劲的海洋流，对污染物的扩散路径和速率有显著影响。
季节性变化：季节变化会影响海洋和大气的温度、风向和海流强度，进而影响扩散过程。
垂直混合和深层流动：海洋深层水体的流动对于长期和深层扩散也很重要。

建模方法

耦合大气-海洋模型：这类模型能够同时模拟大气和海洋之间的能量、质量和动量交换。这对于理解风力如何影响海面流动特别重要。
区域海洋流动模型：这些模型专注于特定区域（如北太平洋），考虑局部海流、温度和盐度分布等因素。对于日本附近的海域，模型需要特别考虑黑潮等主要海流的影响。
垂直混合模型：这些模型考虑海水垂直方向的混合和流动，对于理解污染物如何从表面层扩散到深海非常重要。
数值模拟方法：这通常包括有限差分法、有限元法或谱方法，用于求解复杂的流体动力学方程。

预测扩散速率和方向

在这种建模框架下，预测放射性废水的扩散速率和方向将涉及以下步骤：

初始条件设置：根据放射性废水的实际排放量和位置设置模型的初始条件。
运行模拟：利用上述模型和数值方法来模拟从排放开始到特定时间点的扩散过程。
结果分析：分析模拟结果，确定放射性废水在不同时间点的分布，从而预测其在日本周边海域的扩散速率和方向。

为了预测2023年9月27日日本附近海域的放射性废水污染范围和程度，我们可以使用前面提到的二维阿德韦克斯-扩散方程。我们使用一个简化的网格来演示基本的数值方法。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
D_x = 0.1  # x方向的扩散系数
D_y = 0.1  # y方向的扩散系数
u = 0.05   # x方向的流速
v = 0.02   # y方向的流速

Lx = 500   # x方向的长度（km）
Ly = 500   # y方向的长度（km）
dx = 5     # x方向的空间步长（km）
dy = 5     # y方向的空间步长（km）
dt = 0.1   # 时间步长（天）

nx = int(Lx/dx) + 1  # x方向的网格点数
ny = int(Ly/dy) + 1  # y方向的网格点数
nt = int(30/dt) + 1  # 时间步数

# 初始条件
C = np.zeros((nx, ny))
C[0, 0] = 1095  # 初始时刻在(0,0)处放置1095吨放射性废水

# 二维阿德韦克斯-扩散方程的数值解
for t in range(1, nt):
    C[1:-1, 1:-1] = (C[1:-1, 1:-1] -
                     u * dt / dx * (C[1:-1, 1:-1] - C[0:-2, 1:-1]) -
                     v * dt / dy * (C[1:-1, 1:-1] - C[1:-1, 0:-2]) +
                     D_x * dt / dx**2 * (C[2:, 1:-1]

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上面的图表展示了30天后（即2023年9月27日）放射性废水在海水中的预测扩散情况。在这个模拟中，我们使用了假设的流速和扩散系数，以及简化的二维网格。

在这个模型中，放射性废水从初始排放点（图中左下角）开始扩散。扩散是由水流的流动（由参数 u 和 v 控制）和分子扩散过程（由扩散系数 D_x 和 D_y 控制）共同作用的结果。图中的颜色深浅表示不同区域的放射性废水浓度。

问题二：

2023年，日本已三次倾倒放射性废水。如果未来不再进行倾倒，请建立一个数学模型来研究三次倾倒后放射性废水的扩散路径。考虑海洋环流模式、水动力、海底地形、水深变化、潮汐影响和季节波动等因素。预测污染中国领海所需的时间。请对这一问题进行数学建模

为了研究日本三次倾倒放射性废水后的扩散路径，并预测污染到达中国领海所需的时间，我们选择数学模型来描述放射性物质在海水中的运动。最常用的是多维阿德韦克斯-扩散方程，它可以表达物质在流体中因流动和扩散造成的运输过程。

2. 模型方程

在三维空间中，阿德韦克斯-扩散方程可以写为：
∂ C ∂ t + u ∂ C ∂ x + v ∂ C ∂ y + w ∂ C ∂ z = D x ∂ 2 C ∂ x 2 + D y ∂ 2 C ∂ y 2 + D z ∂ 2 C ∂ z 2 \frac{\partial C}{\partial t} + u \frac{\partial C}{\partial x} + v \frac{\partial C}{\partial y} + w \frac{\partial C}{\partial z} = D_x \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} + D_y \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} + D_z \frac{\partial^2 C}{\partial z^2} ∂t∂C+u∂x∂C+v∂y∂C+w∂z∂C=Dx∂x2∂2C+Dy∂y2∂2C+Dz∂z2∂2C
其中， C ( x , y , z , t ) C(x, y, z, t) C(x,y,z,t) 是放射性物质的浓度， u , v , w u, v, w u,v,w 是流速分量， D x , D y , D z D_x, D_y, D_z Dx,Dy,Dz 是相应方向的扩散系数。

为了更深入地理解放射性废水扩散模型，考虑一些额外的方程和数学概念。

1. 海洋流体动力学的基本方程

纳维-斯托克斯方程

用于描述流体运动的速度场，对于海水流动，该方程的一般形式是：
ρ ( ∂ u ∂ t + u ⋅ ∇ u ) = − ∇ p + μ ∇ 2 u + ρ g \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \rho \mathbf{g} ρ(∂t∂u+u⋅∇u)=−∇p+μ∇2u+ρg
其中， u \mathbf{u} u 是流速向量， ρ \rho ρ 是密度， p p p 是压力， μ \mu μ 是动力粘度， g \mathbf{g} g 是重力加速度。

连续性方程

描述质量守恒，对于不可压缩流体（如水），方程简化为：
∇ ⋅ u = 0 \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 ∇⋅u=0

2. 扩散方程

考虑水体中放射性物质的扩散，使用扩散方程：
∂ C ∂ t = D ∇ 2 C \frac{\partial C}{\partial t} = D \nabla^2 C ∂t∂C=D∇2C
这里， C C C 是放射性物质的浓度， D D D 是扩散系数。

3. 潮汐和季节变化模型

潮汐模型

潮汐对海流的影响可以通过添加一个随时间变化的速度场来模拟，例如：
u t i d e ( x , y , t ) = U t i d e ( x , y ) cos ⁡ ( ω t + ϕ ) \mathbf{u}_{tide}(x, y, t) = \mathbf{U}_{tide}(x, y) \cos(\omega t + \phi) utide(x,y,t)=Utide(x,y)cos(ωt+ϕ)
其中， U t i d e ( x , y ) \mathbf{U}_{tide}(x, y) Utide(x,y) 表示潮汐引起的最大流速分布， ω \omega ω 是潮汐频率， ϕ \phi ϕ 是相位常数。

季节性变化

季节性变化对海洋环流和温度的影响可以通过引入时间依赖的参数来模拟，例如海水温度 T ( x , y , z , t ) T(x, y, z, t) T(x,y,z,t) 和盐度 S ( x , y , z , t ) S(x, y, z, t) S(x,y,z,t) 的变化。

4. 综合模型

将上述方程综合起来，我们得到一个更完整的模型，用以描述放射性废水的扩散：
∂ C ∂ t + u ⋅ ∇ C = D ∇ 2 C + S s o u r c e \frac{\partial C}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla C = D \nabla^2 C + S_{source} ∂t∂C+u⋅∇C=D∇2C+Ssource
其中， S s o u r c e S_{source} Ssource 是源项，代表放射性废水的排放。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parameters
L = 2000  # Total distance in km (e.g., from Japan to China's coast)
dx = 10   # Spatial step in km
D = 0.1   # Diffusion coefficient
u = 5     # Flow velocity in km/day (assumed constant for simplicity)

# Simulation parameters
nx = int(L/dx) + 1  # Number of spatial points
C = np.zeros(nx)    # Initial concentration
C[0] = 1            # Representing the initial waste dump

# Time parameters
dt = 0.1            # Time step in days
total_time = 365    # Total simulation time in days
nt = int(total_time/dt) + 1

# Advection-diffusion simulation
for t in range(nt):
    Cn = C.copy()
    for i in range(1, nx-1):
        C[i] = Cn[i] - u * dt / dx * (Cn[i] - Cn[i-1]) + D * dt / dx**2 * (Cn[i+1] - 2*Cn[i] + Cn[i-1])

    # Checking if the concentration at the far end (China's coast) is above a threshold
    if C[-1] > 0.001:  # Threshold concentration
        print(f"Pollution reached China's coast after {t * dt} days.")
        break

# Visualizing the result
plt.plot(np.linspace(0, L, nx), C)
plt.xlabel('Distance from source (km)')
plt.ylabel('Concentration')
plt.title('Radioactive Pollution Spread Over Time')
plt.show()

代码将逐步模拟放射性废水在海洋中的扩散过程，并在污染物浓度在中国领海达到一个设定阈值时报告所需时间。
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为了分析放射性废水倾倒事件对中国未来渔业经济的长期影响，我们可以使用统计方法来处理调查数据，并结合经济模型来预测可能的经济影响。首先，我们来分析调查数据。

调查数据分析
根据提供的调查数据，我们可以计算出在放射性废水事件前后改变饮食习惯的人数比例。我们将使用卡方检验来确定改变。
卡方检验的结果显示，卡方统计量为 277.63，P 值为 2.46×10−622.46×10−62。这个极低的 P 值表明，放射性废水事件前后人们对于购买和食用海鲜的态度有显著的变化。
经济影响预测
接下来，我们可以使用这些数据来预测对渔业经济的长期影响。
假设和简化
需求下降：假设不再食用海鲜的人群将不再购买海产品。
价格弹性：需求量的减少将导致价格下降，进而可能影响供给。
市场调整：长期来看，市场可能会逐渐适应新的需求水平。

要对放射性废水倾倒对中国未来渔业经济的长期影响进行数学建模，可以使用条件概率和基本的概率理论。首先，我们可以定义一些符号：

P ( E ) P(E) P(E) 表示一个人在放射性废水倾倒前吃海鲜的概率。
P ( F ) P(F) P(F) 表示一个人在放射性废水倾倒后吃海鲜的概率。
P ( E ∣ F ) P(E|F) P(E∣F) 表示一个人在放射性废水倾倒后仍然吃海鲜的条件概率。
P ( F ∣ E ) P(F|E) P(F∣E) 表示一个人在放射性废水倾倒前吃海鲜的条件概率。

我们可以使用这些概率来估计未来渔业经济的长期影响。首先，我们可以计算放射性废水倾倒前后吃海鲜的人数：

放射性废水倾倒前吃海鲜的人数： P ( E ) × 10000 P(E) \times 10000 P(E)×10000
放射性废水倾倒后吃海鲜的人数： P ( F ) × 10000 P(F) \times 10000 P(F)×10000

然后，我们可以计算放射性废水倾倒前后不吃海鲜的人数：

放射性废水倾倒前不吃海鲜的人数： 10000 − P ( E ) × 10000 10000 - P(E) \times 10000 10000−P(E)×10000
放射性废水倾倒后不吃海鲜的人数： 10000 − P ( F ) × 10000 10000 - P(F) \times 10000 10000−P(F)×10000

接下来，我们可以考虑吃海鲜和不吃海鲜的人对渔业经济的影响。假设吃海鲜的人平均每年在渔业上花费 X 1 X_1 X1元，不吃海鲜的人平均每年在渔业上花费 X 2 X_2 X2元。

放射性废水倾倒前吃海鲜的人对渔业经济的年度贡献：

P ( E ) × 10000 × X 1 P(E) \times 10000 \times X_1 P(E)×10000×X1

放射性废水倾倒前不吃海鲜的人对渔业经济的年度贡献：

( 1 − P ( E ) ) × 10000 × X 2 (1 - P(E)) \times 10000 \times X_2 (1−P(E))×10000×X2

放射性废水倾倒后吃海鲜的人对渔业经济的年度贡献：

P ( F ) × 10000 × X 1 P(F) \times 10000 \times X_1 P(F)×10000×X1

放射性废水倾倒后不吃海鲜的人对渔业经济的年度贡献：

( 1 − P ( F ) ) × 10000 × X 2 (1 - P(F)) \times 10000 \times X_2 (1−P(F))×10000×X2

最后，我们可以比较放射性废水倾倒前后的渔业经济总贡献，以评估长期影响。

以下是LaTeX数学公式，用于表示上述计算：

吃海鲜的人数：
放射性废水倾倒前： P ( E ) × 10000 \text{放射性废水倾倒前：} P(E) \times 10000 放射性废水倾倒前：P(E)×10000
放射性废水倾倒后： P ( F ) × 10000 \text{放射性废水倾倒后：} P(F) \times 10000 放射性废水倾倒后：P(F)×10000

不吃海鲜的人数：
放射性废水倾倒前： 10000 − P ( E ) × 10000 \text{放射性废水倾倒前：} 10000 - P(E) \times 10000 放射性废水倾倒前：10000−P(E)×10000
放射性废水倾倒后： 10000 − P ( F ) × 10000 \text{放射性废水倾倒后：} 10000 - P(F) \times 10000 放射性废水倾倒后：10000−P(F)×10000

渔业经济年度贡献：
放射性废水倾倒前吃海鲜的人： P ( E ) × 10000 × X 1 \text{放射性废水倾倒前吃海鲜的人：} P(E) \times 10000 \times X_1 放射性废水倾倒前吃海鲜的人：P(E)×10000×X1
放射性废水倾倒前不吃海鲜的人： ( 1 − P ( E ) ) × 10000 × X 2 \text{放射性废水倾倒前不吃海鲜的人：} (1 - P(E)) \times 10000 \times X_2 放射性废水倾倒前不吃海鲜的人：(1−P(E))×10000×X2
放射性废水倾倒后吃海鲜的人： P ( F ) × 10000 × X 1 \text{放射性废水倾倒后吃海鲜的人：} P(F) \times 10000 \times X_1 放射性废水倾倒后吃海鲜的人：P(F)×10000×X1
放射性废水倾倒后不吃海鲜的人： ( 1 − P ( F ) ) × 10000 × X 2 \text{放射性废水倾倒后不吃海鲜的人：} (1 - P(F)) \times 10000 \times X_2 放射性废水倾倒后不吃海鲜的人：(1−P(F))×10000×X2

使用数学建模来分析日本排放放射性废水30年后的情况，需要建立一个更加详细和复杂的模型，该模型将考虑放射性物质的传输、稀释、衰变以及海洋环境中的生物地球化学过程。这样的模型通常需要使用流体动力学和放射性物质传输的偏微分方程来描述。

放射性物质传输方程：
∂ C ∂ t = D ∇ 2 C − λ C + Q \frac{\partial C}{\partial t} = D \nabla^2 C - \lambda C + Q ∂t∂C=D∇2C−λC+Q
其中， C ( x , t ) C(\mathbf{x}, t) C(x,t) 是放射性物质的浓度， D D D 是扩散系数， λ \lambda λ 是衰变常数， Q ( x , t ) Q(\mathbf{x}, t) Q(x,t) 是源项，表示放射性废水的排放。
海洋水流模型：
∂ u ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) u = − 1 ρ ∇ p + ν ∇ 2 u + g \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u} \cdot \nabla) \mathbf{u} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{u} + \mathbf{g} ∂t∂u+(u⋅∇)u=−ρ1∇p+ν∇2u+g
其中， u ( x , t ) \mathbf{u}(\mathbf{x}, t) u(x,t) 是流速向量， p ( x , t ) p(\mathbf{x}, t) p(x,t) 是压力， ν \nu ν 是动粘性系数， g \mathbf{g} g 是重力加速度。
放射性衰变：
λ = ln ⁡ 2 T 1 / 2 \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} λ=T1/2ln2
其中， T 1 / 2 T_{1/2} T1/2 是放射性物质的半衰期。

from fenics import *
from mshr import *

# 创建一个矩形域，代表研究区域
domain = Rectangle(Point(0, 0), Point(100, 50))

# 创建一个代表排放点的圆
radius = 1.0
circle = Circle(Point(20, 25), radius)

# 从矩形域中减去圆，得到研究区域的几何形状
mesh = generate_mesh(domain - circle, 64)

# 定义函数空间
V = FunctionSpace(mesh, 'P', 1)

# 定义边界条件
def boundary(x, on_boundary):
    return on_boundary

bc = DirichletBC(V, Constant(0), boundary)

# 定义放射性衰变常数和扩散系数
lambda_ = Constant(0.1)
D = Constant(0.01)

# 定义时间步长和总时间
dt = 0.1
T = 30  # 30 years

# 定义放射性物质传输方程
C = Function(V)
C_n = interpolate(Constant(0), V)

# 定义试验函数
v = TestFunction(V)

# 定义时间循环
for t in range(int(T/dt)):
    # 更新源项
    Q = Expression('exp(-pow(x[0]-20, 2)/0.1 - pow(x[1]-25, 2)/0.1)', degree=2)
    # 求解方程
    F = (C - C_n)/dt*v*dx + D*dot(grad(C), grad(v))*dx - lambda_*C*v*dx - Q*v*dx
    solve(F == 0, C, bc)
    # 更新前一个时间步的解
    C_n.assign(C)

# 输出结果
file = File('radioactive_diffusion.pvd')
file << C

问题五

基于你的研究，写一封给联合国环境规划署的建议信，长度为1页。

更多内容具体可以看看我的下方名片！里面包含有认证杯一手资料与分析！
另外在赛中，我们也会陪大家一起解析认证杯的一些方向
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