矩阵化为最简形--列向量的最大线性最大无关组--阶梯型矩阵--特征值和特征向量

1 将矩阵化为最简形

以下是将矩阵 ( 1 7 2 5 2 3 0 − 1 1 − 1 2 1 0 6 4 0 4 1 2 − 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 7 & 2 & 5 & 2 \\ 3 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & 6 & 4 \\ 0 & 4 & 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} ​1320​7014​2−101​5162​2−14−1​ ​ 化为最简形的 Python 代码，并以矩阵形式展示结果：

from sympy import Matrix

# Define the matrix A
A = Matrix([
    [1, 7, 2, 5, 2],
    [3, 0, -1, 1, -1],
    [2, 1, 0, 6, 4],
    [0, 4, 1, 2, -1]
])

# Compute the reduced row echelon form (rref)
rref_matrix, pivot_columns = A.rref()

# Display the result
print("The matrix in reduced row echelon form is:")
print(rref_matrix)

运行此代码将输出：

The matrix in reduced row echelon form is:
Matrix([
[1, 0, 0, 0, 3/2],
[0, 1, 0, 0,  -2],
[0, 0, 1, 0,   6],
[0, 0, 0, 1, 1/2]])

化为最简形后的矩阵表示为：

( 1 0 0 0 3 2 0 1 0 0 − 2 0 0 1 0 6 0 0 0 1 1 2 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} ​1000​0100​0010​0001​23​−2621​​ ​

2 求矩阵列向量的最大线性最大无关组

对于矩阵 ( 1 7 2 5 2 3 0 − 1 1 − 1 2 1 0 6 4 0 4 1 2 − 1 ) \begin{pmatrix} 1 & 7 & 2 & 5 & 2 \\ 3 & 0 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 & 6 & 4 \\ 0 & 4 & 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} ​1320​7014​2−101​5162​2−14−1​ ​：

最大线性无关组的列索引是 ((0, 1, 2, 3))，即列向量：

( 1 3 2 0 ) , ( 7 0 1 4 ) , ( 2 − 1 0 1 ) , ( 5 1 6 2 ) \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} ​1320​ ​, ​7014​ ​, ​2−101​ ​, ​5162​ ​

将其余的列向量表示为最大无关组的线性组合：

第5列向量 ( 2 − 1 4 − 1 ) \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} ​2−14−1​ ​ 可以表示为：

( 2 − 1 4 − 1 ) = 3 2 ( 1 3 2 0 ) − 2 ( 7 0 1 4 ) + 6 ( 2 − 1 0 1 ) + 1 2 ( 5 1 6 2 ) \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{3}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + 6 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 6 \\ 2 \end{pmatrix} ​2−14−1​ ​=23​ ​1320​ ​−2 ​7014​ ​+6 ​2−101​ ​+21​ ​5162​ ​

即：

( 2 − 1 4 − 1 ) = 3 2 v 1 − 2 v 2 + 6 v 3 + 1 2 v 4 \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{3}{2} \mathbf{v}_1 - 2 \mathbf{v}_2 + 6 \mathbf{v}_3 + \frac{1}{2} \mathbf{v}_4 ​2−14−1​ ​=23​v1​−2v2​+6v3​+21​v4​

其中 v 1 , v 2 , v 3 , v 4 \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4 v1​,v2​,v3​,v4​ 分别是最大无关组的列向量。

# Define the matrix A
A = Matrix([
    [1, 7, 2, 5, 2],
    [3, 0, -1, 1, -1],
    [2, 1, 0, 6, 4],
    [0, 4, 1, 2, -1]
])

# Compute the reduced row echelon form
rref_matrix, pivot_columns = A.rref()

# Get the maximum linearly independent set of columns
max_independent_set = A[:, pivot_columns]

# Express the remaining columns as linear combinations of the independent set
expressions = {}
for i in range(A.shape[1]):
    if i not in pivot_columns:
        coeffs = rref_matrix[:, i]
        expression = {}
        for j, coeff in enumerate(coeffs):
            if coeff != 0:
                expression[pivot_columns[j]] = coeff
        expressions[i] = expression

pivot_columns, max_independent_set, expressions

3 给你一个增广矩阵，你帮我求出他的阶梯型矩阵（1，-1，3，-1，1；2，-1，-1，4，2；3，-2，2，3，3）最后一个列是增广列

以下是给定增广矩阵 ( 1 − 1 3 − 1 1 2 − 1 − 1 4 2 3 − 2 2 3 3 ) \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 & 4 & 2 \\ 3 & -2 & 2 & 3 & 3 \end{pmatrix} ​123​−1−1−2​3−12​−143​123​ ​的阶梯型矩阵：

( 1 0 − 4 5 1 0 1 − 7 6 0 0 0 0 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 & 5 & 1 \\ 0 & 1 & -7 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ​100​010​−4−70​560​100​ ​

这个矩阵已经转换为阶梯型形式。

from sympy import Matrix

# Define the augmented matrix
augmented_matrix = Matrix([
    [1, -1, 3, -1, 1],
    [2, -1, -1, 4, 2],
    [3, -2, 2, 3, 3]
])

# Compute the row echelon form
echelon_matrix = augmented_matrix.rref()[0]

echelon_matrix

4 求特征值和特征向量

将该矩阵 ( − 1 1 1 0 1 4 0 4 1 ) \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 4 & 1 \end{pmatrix} ​−100​114​141​ ​的特征值和对应的特征向量写成分数或无理数如下：

特征值：
− 1 , 5 , − 3 -1, 5, -3 −1,5,−3

对应的特征向量（按列排列）：

• 对应特征值 − 1 -1 −1 的特征向量是：
  ( 1 0 0 ) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ​100​ ​

• 对应特征值 5 5 5的特征向量是：
  ( 1 3 1 1 ) \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} ​31​11​ ​

• 对应特征值 − 3 -3 −3的特征向量是：
  ( 0 − 1 1 ) \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} ​0−11​ ​

#写成分数或者无理数的形式
import numpy as np
from sympy import Matrix, Rational
##求矩阵特征值和特征向量
# Define the matrix
matrix = np.array([[2, 0, 0], [0, 3, 2], [0, 2, 3]])

# Compute the eigenvalues and eigenvectors using numpy
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)

# Convert numpy arrays to sympy for exact computation
matrix_sympy = Matrix(matrix)
eigenvals = matrix_sympy.eigenvals()
eigenvecs = matrix_sympy.eigenvects()

# Print eigenvalues as fractions or irrational numbers
print("Eigenvalues:")
for val in eigenvals:
    print(Rational(val).limit_denominator())

# Print eigenvectors as fractions or irrational numbers
print("\nEigenvectors:")
for val, multiplicity, vecs in eigenvecs:
    for vec in vecs:
        print(f"Eigenvalue {Rational(val).limit_denominator()}:")
        print(vec)

不写成分数或者无理数形式

import numpy as np

# Define the matrix
matrix = np.array([[-1, 1, 1], [0, 1, 4], [0, 4, 1]])

# Compute the eigenvalues and eigenvectors
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(matrix)

eigenvalues, eigenvectors