特殊方格棋盘【状压DP】
题目描述
在的方格棋盘上放置n
个车,某些格子不能放,求使它们不能互相攻击的方案总数。
注意:同一行或同一列只能有一个车,否则会相互攻击
输入格式
输入文件第一行,有两个数n, m ,n
表示方格棋盘大小,m
表示不能放的格子数量
下面有m
行,每行两个整数,为不能放的格子的位置。
输出格式
输出文件也只有一行,即得出的方案总数。
样例
样例输入
2 1
1 1
样例输出
1
思路分析
状压的核心:1. 二进制表示状态
2.位运算进行转移等操作
状压DP的核心就在于用二进制数表示一种状态,其实是一种非常暴力的算法,举个例子:
例如dp[s] [v]中,S可以代表已经访问过的顶点的集合,v可以代表当前所在的顶点为v。S代表的就是一种状态(二进制表示),比如 (11001)2 代表在二进制中{0,3,4}三个顶点已经访问过了,(11001)2 代表的十进制数就是25 ,所以当S为25的时候其实就是代表已经访问过了{0,3,4}三个顶点,那假如一共有5个顶点(标号为01234)的话,所有的顶点都访问完毕应该S为什么呢?是 (11111)2。
关于本题:
这题的约束条件非常非常简单,直接告诉了你哪里不能放,那么我们怎么记录这个所给的约束条件呢?
其实也是用二进制的思想,我们开一个数组a[x],表示第x行的限制,如果第x行的第y列不能放置,那么我们就将其对应的二进制位变为1,这里涉及到了位运算——
a[x] += 1<<(y-1)
;本题还用到了另一个和二进制紧密相关的东西:
int lowbit(int x){return x & -x;}
返回值是最后一个二进制数位为1的位置
转移方程:
int maxs = 1<<n; //显然这是最大的状态,即每个二进制位都是1
for(int s = 1;s < maxs;s++){
int cnt = 0;
for(int i = s;i;i-=lowbit(i))cnt++;//记录二进制1的个数,即放车车的个数(等于行数)
for(int i = s;i;i-=lowbit(i)){ //根据不能放在同一列进行转移
if(!(a[cnt] & lowbit(i))){ //首先要保证该位置可以放
int ss = s^lowbit(i); //异或恰好使得上一行的状态与本行不发生冲突
f[s] += f[ss];
}
}
}
另附一张位运算常用操作:
上代码
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm> const int maxn = (1<<20)-1;
typedef long long ll;
ll f[maxn],a[25]; int lowbit(int x){
return x & -x;
} int main(){
int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i = 1;i <= m;i++){
int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
a[x] += 1<<(y-1);
}
f[0] = 1;
int maxs = 1<<n;
for(int s = 1;s < maxs;s++){
int cnt = 0;
for(int i = s;i;i-=lowbit(i))cnt++;
for(int i = s;i;i-=lowbit(i)){
if(!(a[cnt] & lowbit(i))){
int ss = s^lowbit(i);
f[s] += f[ss];
}
}
}
printf("%lld\n",f[maxs - 1]);
return 0;
}