2200: [Usaco2011 Jan]道路和航线
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Description
Input
Output
Sample Input
1 2 5
3 4 5
5 6 10
3 5 -100
4 6 -100
1 3 -10
样例输入解释：
一共六个城镇。在1-2，3-4，5-6之间有道路，花费分别是5，5，10。同时有三条航线：3->5，
4->6和1->3，花费分别是-100，-100，-10。FJ的中心城镇在城镇4。
Sample Output
NO PATH
5
0
-95
-100
样例输出解释：
FJ的奶牛从4号城镇开始，可以通过道路到达3号城镇。然后他们会通过航线达到5和6号城镇。
但是不可能到达1和2号城镇。
HINT
Source
题意：
$N$个点，$R$个无向边$P$个有向边。每条边上有一个权值，无向边的权值一定是正数，有向边可能为负。现在从$S$出发，问到达其他各点的最短路。
思路：
因为有负边，所以dijkstra不能用了。数据造的卡spfa了，据说用spfa优化可以过。
这里用的lyd书上说的解法，缩点然后拓扑序扫描求出单源最短路。复杂度是$O(T+P+RlogT)
由于无向边都是非负的，只有单向边可能是负的并且单向边不构成环。所以可以把图变成一个有向无环图。
首先我们添加所有的无向边，这会使得$N$个节点形成若干个联通块。我们把这些连通块整体看成一个点【缩点】。此时再添加有向边，就可以得到一张有向无环图。而在一个连通块内部我们可以使用堆优化的dijkstra计算块内的最短路。
算法大概分成这样几步：
1、使用dfs构建连通块，$vis[i]$记录的是第$i$个节点所在连通块的编号。
2、加入有向边，计算每个连通块的入度$deg[i]$
3、建立队列进行拓扑排序，最初时包含所有入度为$0$的连通块编号。初始化最短路数组$d$,$d[S] = 0$, 其他点为$inf$
4、使用堆优化的dijkstra处理每一个连通块。每次从堆中取出$d$最小的节点$x$，并且扫描$x$出发的所有边（包括无向和有向），进行松弛操作。
如果这条边的终点$y$和$x$在同一个连通块中，并且$d[y]$被$d[x]$更新了，就把$y$加入到堆中（与dijkstra相同）
如果终点和$x$不在同一个连通块中了，需要做的是拓扑排序的步骤。将$y$对应的连通块的入度减$1$，如果入度是0了，就可以插入到拓扑排序的队列末尾了。
虐狗宝典阅读笔记：
1、在有向无环图上，无论边权正负，都可以按照拓扑序进行扫描，在线性时间内求出单源最短路。
2、spfa一种名为SLF的优化策略：基于双端队列的思想。在每次更新$dist[y]$之后，把$dist[y]$与当前队头节点（即把$x$出队以后，队头的那个节点）的$dist$值进行比较。若$dist[y]$更小，则从队头把$y$入队，否则仍从队尾入队。
#include<iostream>
//#include<bits/stdc++.h>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<vector>
#include<set>
#include<climits>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define N 100010
#define pi 3.1415926535
#define inf 0x3f3f3f3f int n, r, p, s;
const int maxn = ;
vector<pair<int, int> >road[maxn];//终点，权值
vector<pair<int, int> >flight[maxn];
vector<int>seg[maxn];
int vis[maxn];
int deg[maxn];//第i个联通块的总入度 int cnt;
void dfs(int x)
{
vis[x] = cnt;
seg[cnt].push_back(x);
for(int i = ; i < road[x].size(); i++){
int y = road[x][i].first;
if(vis[y])continue;
dfs(y);
}
}
void get_connect()
{
cnt = ;//联通块个数
for(int i = ; i <= n; i++){
vis[i] = ;
}
for(int i = ; i <= n; i++){
if(!vis[i]){
cnt++;
dfs(i);
}
}
} LL d[maxn];
bool v[maxn];
void solve()
{
memset(v, , sizeof(v));
memset(d, 0x3f, sizeof(d));
d[s] = ;
queue<int>q;
for(int i = ; i <= cnt; i++){
if(deg[i] == ){
q.push(i);
}
}
while(q.size()){
int id = q.front();q.pop();
set<pair<LL, int>, less<pair<LL, int> > >min_heap;
set<pair<LL, int>, less<pair<LL, int> > >::iterator it;
for(int i = ; i < seg[id].size(); i++){
min_heap.insert(make_pair(d[seg[id][i]], seg[id][i]));
//v[seg[id][i]] = 0;
}
while(!min_heap.empty()){
it = min_heap.begin();
int x = it->second;
min_heap.erase(*it);
//if(v[x])continue;
//v[x] = true;
for(int i = ; i < road[x].size();i++){
int y = road[x][i].first;
LL z = road[x][i].second;
if(d[x] + z < d[y]){
if(vis[y] == vis[x]){
min_heap.erase(make_pair(d[y], y));
d[y] = d[x] + z;
min_heap.insert(make_pair(d[y], y));
} }
if(vis[x] != vis[y]){
d[y] = min(d[y], d[x] + z);
deg[vis[y]]--;
if(deg[vis[y]] == )q.push(vis[y]);
}
}
for(int i = ; i < flight[x].size();i++){
int y = flight[x][i].first;
LL z = flight[x][i].second;
if(d[x] + z < d[y]){
if(vis[y] == vis[x]){
min_heap.erase(make_pair(d[y], y));
d[y] = d[x] + z;
min_heap.insert(make_pair(d[y], y));
} }
if(vis[x] != vis[y]){
d[y] = min(d[y], d[x] + z);
deg[vis[y]]--;
if(deg[vis[y]] == )q.push(vis[y]);
}
}
}
}
} int main()
{
//freopen("in.txt", "r", stdin);
scanf("%d%d%d%d", &n, &r, &p, &s);
for(int i = ; i <= n; i++){
road[i].clear();
flight[i].clear();
seg[i].clear();
}
for(int i = ; i < r; i++){
int u, v, w;
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
road[u].push_back(make_pair(v, w));
road[v].push_back(make_pair(u, w));
}
get_connect();
for(int i = ; i < p; i++){
int u, v, w;
scanf("%d%d%d", &u, &v, &w);
flight[u].push_back(make_pair(v, w));
deg[vis[v]]++;
} solve();
for(int i = ; i <= n; i++){
if(d[i] > ){
printf("NO PATH\n");
}
else{
printf("%lld\n", d[i]);
}
}
return ;
}